Analysis Beispiele

$\int \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)} d x$

Schritt 1

Schreibe $\frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$ als ${(\frac{\sec (x)}{\tan (x)})}^{2}$ um.

$\int {(\frac{\sec (x)}{\tan (x)})}^{2} d x$

Schritt 2

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int {(\frac{\sec (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2} d x$

Schritt 3

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int {(\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2} d x$

Schritt 4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$\int {(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} d x$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int {(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} d x$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$\int {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} d x$

Schritt 6

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\int \csc^{2} (x) d x$

Schritt 7

Da die Ableitung von $- \cot (x)$ gleich $\csc^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (x)$ gleich $- \cot (x)$ .

$- \cot (x) + C$