Analysis Beispiele

$\arctan (\frac{π}{2} - \frac{t}{10})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \arctan (t)$ und $g (t) = \frac{π}{2} - \frac{t}{10}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{π}{2} - \frac{t}{10}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [\frac{π}{2} - \frac{t}{10}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{π}{2} - \frac{t}{10}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{π}{2} - \frac{t}{10}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{π}{2} - \frac{t}{10}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{π}{2} - \frac{t}{10}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\frac{π}{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}} (\frac{d}{d t} [\frac{π}{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}])$

Schritt 2.2

Da $\frac{π}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π}{2}$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}} (0 + \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}])$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}]$

Schritt 2.4

Da $- \frac{1}{10}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{t}{10}$ nach $t$ gleich $- \frac{1}{10} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}} (- \frac{1}{10} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 2.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}}$ mit $\frac{1}{10}$ .

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}) \cdot 10} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.5.2

Bringe $10$ auf die linke Seite von $1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}$ .

$- \frac{1}{10 \cdot (1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2})} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{10 (1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2})} \cdot 1$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{10 (1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2})}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{10 \cdot 1 + 10 {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$- \frac{1}{10 + 10 {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}}$