Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - 3 \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Schritt 1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$- 3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Schritt 2

Sei $u = \csc (x)$ . Dann ist $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ , folglich $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \csc (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Schritt 2.1.3

Stelle die Faktoren von $- \csc (x) \cot (x)$ um.

$- \cot (x) \csc (x)$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \csc (x)$ ein.

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{4})$

Schritt 2.3

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{4})$ ist $\sqrt{2}$ .

$u_{lower} = \sqrt{2}$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \csc (x)$ ein.

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Schritt 2.5

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = \sqrt{2}$

$u_{upper} = 1$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$- 3 \int_{\sqrt{2}}^{1} - 1 u d u$

Schritt 3

Schreibe $- 1 u$ als $- u$ um.

$- 3 \int_{\sqrt{2}}^{1} - u d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- 3 (- \int_{\sqrt{2}}^{1} u d u)$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$3 \int_{\sqrt{2}}^{1} u d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{2}]_{\sqrt{2}}^{1})$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u^{2}$ .

$3 (\frac{u^{2}}{2}]_{\sqrt{2}}^{1})$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $\frac{u^{2}}{2}$ bei $1$ und $\sqrt{2}$ .

$3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Schritt 8.2.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 8.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2})$

Schritt 8.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2})$

Schritt 8.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

Schritt 8.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

Schritt 8.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{1}}{2})$

Schritt 8.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2}{2})$

Schritt 8.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2}{2})$

Schritt 8.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 8.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 (\frac{1}{2} - 1)$

Schritt 8.2.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 8.2.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Schritt 8.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 8.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 \frac{1 - 2}{2}$

Schritt 8.2.8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$3 (\frac{- 1}{2})$

Schritt 8.2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 (- \frac{1}{2})$

Schritt 8.2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 (\frac{1}{2})$

Schritt 8.2.11

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2}$

Schritt 8.2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{3}{2}$

Dezimalform:

$- 1.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$- 1 \frac{1}{2}$