Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{x - \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Schritt 1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{x \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 2.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} (\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})) \frac{2}{x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ mit $\frac{2}{x \cdot 2 - \sqrt{3}}$ .

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{(\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})) \cdot 2}{x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$2 \frac{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{\sqrt{3}}{2}$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \arcsin (x) - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{\sqrt{3}}{2}$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.2.3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{\sqrt{3}}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.2.3.1

Berechne den Grenzwert von $\arcsin (x)$ durch Einsetzen von $\frac{\sqrt{3}}{2}$ für $x$ .

$2 \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2}) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.2.3.2

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$2 \frac{\frac{π}{3} - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.2.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$2 \frac{\frac{π}{3} - \frac{π}{3}}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.2.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{\frac{π - π}{3}}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.2.4.3

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$2 \frac{\frac{0}{3}}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.2.4.4

Dividiere $0$ durch $3$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{\sqrt{3}}{2}$ annähert.

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.3.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $\sqrt{3}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{\sqrt{3}}{2}$ annähert.

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x - \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{\sqrt{3}}{2}$ für $x$ .

$2 \frac{0}{2 \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{0}{2 \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{0}{\sqrt{3} - \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.3.3.2

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von $\sqrt{3}$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{x \cdot 2 - \sqrt{3}} = lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

Schritt 3.3.2

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x) - \frac{π}{3}]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\arcsin (x) - \frac{π}{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

Schritt 3.3.4

Die Ableitung von $\arcsin (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

Schritt 3.3.5

Da $- \frac{π}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{π}{3}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

Schritt 3.3.6

Addiere $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ und $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

Schritt 3.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x \cdot 2 - \sqrt{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

Schritt 3.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [x \cdot 2]$ .

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Schritt 3.3.8.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [2 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

Schritt 3.3.8.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

Schritt 3.3.8.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

Schritt 3.3.8.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

Schritt 3.3.9

Da $- \sqrt{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sqrt{3}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 + 0}$

Schritt 3.3.10

Addiere $2$ und $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}} \cdot 2}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Schritt 4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{\sqrt{3}}{2}$ annähert.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{\sqrt{3}}{2}$ annähert.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Schritt 4.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} 1 - x^{2}}}$

Schritt 4.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{\sqrt{3}}{2}$ annähert.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x^{2}}}$

Schritt 4.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{\sqrt{3}}{2}$ annähert.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x^{2}}}$

Schritt 4.7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - {(lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x)}^{2}}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{\sqrt{3}}{2}$ für $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$

Schritt 6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}}$

Schritt 6.3.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}}$

Schritt 6.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}}$

Schritt 6.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}}$

Schritt 6.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}}$

Schritt 6.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3^{1}}{2^{2}}}}$

Schritt 6.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3}{2^{2}}}}$

Schritt 6.3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3}{4}}}$

Schritt 6.3.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}}}$

Schritt 6.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 3}{4}}}$

Schritt 6.3.6

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}}}$

Schritt 6.3.7

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}}$

Schritt 6.3.8

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{4}}}$

Schritt 6.3.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.9.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2^{2}}}}$

Schritt 6.3.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \cdot 2$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$