Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} (x^{2} - 9) \frac{x - 3}{| x - 3 |}$

Schritt 1

Mutltipliziere $x^{2} - 9$ mit $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(x^{2} - 9) (x - 3)}{| x - 3 |}$

Schritt 2

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 3^{-}} \frac{(x^{2} - 9) (x - 3)}{| x - 3 |}$

Schritt 3

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\frac{(x^{2} - 9) (x - 3)}{| x - 3 |}$ zeigt, wenn sich $x$ von links $3$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \frac{(x^{2} - 9) (x - 3)}{| x - 3 |} \\ 2.9 & 0.59 \\ 2.99 & 0.0599 \\ 2.999 & 0.005999 \\ 2.9999 & 0.0005\overline{9} \\ 2.99999 & 0.00005\overline{9} \\ 2.999999 & 0.000005\overline{9} \end{array}$

Schritt 4

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $3$ nähern sich die Funktionswerte $0$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $\frac{(x^{2} - 9) (x - 3)}{| x - 3 |}$ für $x$ gegen $3$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 5

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 3^{+}} \frac{(x^{2} - 9) (x - 3)}{| x - 3 |}$

Schritt 6

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\frac{(x^{2} - 9) (x - 3)}{| x - 3 |}$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $3$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \frac{(x^{2} - 9) (x - 3)}{| x - 3 |} \\ 3.1 & 0.61 \\ 3.01 & 0.0601 \\ 3.001 & 0.006001 \\ 3.0001 & 0.00060001 \\ 3.00001 & 0.00006 \\ 3.000001 & 0.000006 \end{array}$

Schritt 7

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $3$ nähern sich die Funktionswerte $0$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $\frac{(x^{2} - 9) (x - 3)}{| x - 3 |}$ für $x$ gegen $3$ gleich $0$ .

$0$