Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2} - 6 x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2} - 6 x}$ als ${(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{1}{{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $\frac{1}{{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$ als ${({(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 4.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Schritt 4.1.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Schritt 4.1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ und $g (x) = x^{2} - 6 x$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 6 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 6 x$ .

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Schritt 4.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Schritt 4.7.2

Kombiniere ${(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{4}{3}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{{(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Schritt 4.7.3

Bringe ${(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{4}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Schritt 4.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 6 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Schritt 4.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Schritt 4.10

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x - 6 \cdot 1)$

Schritt 4.12

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x - 6)$

Schritt 4.13

Vereinfache.

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Schritt 4.13.1

Stelle die Faktoren von $- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x - 6)$ um.

$- (2 x - 6) \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(- (2 x) - - 6) \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4.13.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(- 2 x - - 6) \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4.13.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$(- 2 x + 6) \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4.13.5

Mutltipliziere $- 2 x + 6$ mit $\frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{- 2 x + 6}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4.13.6

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x + 6$ heraus.

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Schritt 4.13.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- x) + 6}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4.13.6.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (- x) + 2 (3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4.13.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (3)$ heraus.

$\frac{2 (- x + 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4.13.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{2 (- (x) + 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4.13.8

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 3))}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4.13.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 3)$ heraus.

$\frac{2 (- (x - 3))}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4.13.10

Schreibe $- (x - 3)$ als $- 1 (x - 3)$ um.

$\frac{2 (- 1 (x - 3))}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4.13.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 (x - 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{2 (x - 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (x - 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$