Analysis Beispiele

$f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 3 & x < - 2 \\ 5 & x = - 2 \\ - 3 x + 1 & x > - 2 \end{cases}$

Schritt 1

Finde die Grenze von $x^{2} + 3$ , wenn sich $x$ von links $- 2$ nähert.

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Schritt 1.1

Wandle den zweiseitigen Grenzwert in einen linksseitigen Grenzwert um.

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x^{2} + 3$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x^{2} + lim_{x \to {(- 2)}^{-}} 3$

Schritt 1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x)}^{2} + lim_{x \to {(- 2)}^{-}} 3$

Schritt 1.2.3

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

${(lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x)}^{2} + 3$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

${(- 2)}^{2} + 3$

Schritt 1.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.4.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$4 + 3$

Schritt 1.4.2

Addiere $4$ und $3$ .

$7$

Schritt 2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$5$

Schritt 3

Da die Grenze von $x^{2} + 3$ bei Annäherung von $x$ an $- 2$ von links nicht gleich dem Funktionswert bei $x = - 2$ ist, ist die Funktion bei $x = - 2$ nicht kontinuierlich.

Nicht stetig

Schritt 4