Analysis Beispiele

$\int \frac{18 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{{(2 + \tan^{3} (x))}^{2}} d x$

Schritt 1

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $18$ aus dem Integral.

$18 \int \frac{\tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{{(2 + \tan^{3} (x))}^{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u_{2} = 2 + \tan^{3} (x)$ . Dann ist $d u_{2} = 3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Es sei $u_{2} = 2 + \tan^{3} (x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere $2 + \tan^{3} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 + \tan^{3} (x)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + \tan^{3} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$

Schritt 2.1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \tan (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\tan (x)$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 2.1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 + 3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 2.1.3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\tan (x)$ .

$0 + 3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 2.1.3.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$0 + 3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.1

Addiere $0$ und $3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Schritt 2.1.4.2

Stelle die Faktoren von $3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$ um.

$3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$18 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$18 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 3} d u_{2}$

Schritt 3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${u_{2}}^{2}$ .

$18 \int \frac{1}{3 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$18 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $18$ .

$\frac{18}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $18$ heraus.

$\frac{3 \cdot 6}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 5.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 6}{3 (1)} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 5.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 5.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 5.1.2.2.4

Dividiere $6$ durch $1$ .

$6 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 5.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bringe ${u_{2}}^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$6 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Schritt 5.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$6 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{- 2}$ nach $u_{2}$ gleich $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$6 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Schreibe $6 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ als $6 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ um.

$6 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 6 \frac{1}{u_{2}} + C$

Schritt 7.2.2

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{- 6}{u_{2}} + C$

Schritt 7.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6}{u_{2}} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 + \tan^{3} (x)$ .

$- \frac{6}{2 + \tan^{3} (x)} + C$