Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{\frac{1}{x}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(2 + x)}^{\frac{1}{x}}$ als $e^{\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})}$ um.

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{x}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (2 + x)}$

Schritt 2

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\ln (2 + x)$ .

$lim_{x \to 0} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

Schritt 3

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{-}} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

Schritt 4

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$ zeigt, wenn sich $x$ von links $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}} \\ - 0.1 & 0.00163103 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & 0 \end{array}$

Schritt 5

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$ für $x$ gegen $0$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 6

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

Schritt 7

Wenn sich die $x$ -Werte von rechts an $0$ annähern, nehmen die Funktionswerte ohne Schranke zu.

$\infty$

Schritt 8

Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert nicht gleich sind, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$