Analysis Beispiele

$f (x) = 7 x^{2} + x$

Schritt 1

Das Minimum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ positiv ist, ist der Minimalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{1}{2 (7)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{1}{2 (7)}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$x = - \frac{1}{14}$

Schritt 3

Berechne $f (- \frac{1}{14})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{14}$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 {(- \frac{1}{14})}^{2} - \frac{1}{14}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$f (- \frac{1}{14}) = 7 {(- \frac{1}{14})}^{2} - \frac{1}{14}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{14}$ an.

$f (- \frac{1}{14}) = 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{14})}^{2}) - \frac{1}{14}$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{14}$ an.

$f (- \frac{1}{14}) = 7 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{14^{2}})) - \frac{1}{14}$

Schritt 3.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (1 (\frac{1^{2}}{14^{2}})) - \frac{1}{14}$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{14^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1^{2}}{14^{2}}) - \frac{1}{14}$

Schritt 3.2.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1}{14^{2}}) - \frac{1}{14}$

Schritt 3.2.2.5

Potenziere $14$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1}{196}) - \frac{1}{14}$

Schritt 3.2.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.2.2.6.1

Faktorisiere $7$ aus $196$ heraus.

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1}{7 (28)}) - \frac{1}{14}$

Schritt 3.2.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1}{7 \cdot 28}) - \frac{1}{14}$

Schritt 3.2.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1}{28} - \frac{1}{14}$

Schritt 3.2.3

Um $- \frac{1}{14}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1}{28} - \frac{1}{14} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $28$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{14}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1}{28} - \frac{2}{14 \cdot 2}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $14$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1}{28} - \frac{2}{28}$

Schritt 3.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1 - 2}{28}$

Schritt 3.2.6

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{- 1}{28}$

Schritt 3.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{1}{14}) = - \frac{1}{28}$

Schritt 3.2.8

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{28}$ .

$- \frac{1}{28}$

Schritt 4

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Minimum auftritt.

$(- \frac{1}{14}, - \frac{1}{28})$

Schritt 5