Analysis Beispiele

$y = {(\frac{4 x^{2}}{6 - 2 x^{2}})}^{5}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{4 x^{2}}{6 - 2 x^{2}})}^{5})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6 - 2 x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{6 - 2 x^{2}})}^{5}]$

Schritt 3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3) - 2 x^{2}})}^{5}]$

Schritt 3.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3) + 2 (- x^{2})})}^{5}]$

Schritt 3.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3) + 2 (- x^{2})$ heraus.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3 - x^{2})})}^{5}]$

Schritt 3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3 - x^{2})})}^{5}]$

Schritt 3.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{5}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = \frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{6 - 2 x^{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Schritt 3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3) - 2 x^{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Schritt 3.2.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3) + 2 (- x^{2})})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Schritt 3.2.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3) + 2 (- x^{2})$ heraus.

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3 - x^{2})})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Schritt 3.2.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3 - x^{2})})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Schritt 3.2.3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$5 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 - x^{2}}]$ .

$5 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 - x^{2}}])$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 3 - x^{2}$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{(3 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5

Differenziere.

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Schritt 3.5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{(3 - x^{2}) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $3 - x^{2}$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 \cdot (3 - x^{2}) x - x^{2} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.7

Multipliziere.

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Schritt 3.5.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.7.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{2} (2 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.1

Bewege $x$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x \cdot x^{2} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{1} x^{2} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{1 + 2} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{3} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + 2 \cdot x^{3}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.8

Kombiniere $\frac{2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ und $10$ .

$\frac{(2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3}) \cdot 10}{{(3 - x^{2})}^{2}} {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4}$

Schritt 3.9

Bringe $10$ auf die linke Seite von $2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3}$ .

$\frac{10 \cdot (2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4}$

Schritt 3.10

Vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ an.

$\frac{10 (2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(2 x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.10.2

Wende die Produktregel auf $2 x^{2}$ an.

$\frac{10 (2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{10 ((2 \cdot 3 + 2 (- x^{2})) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.10.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{10 (2 \cdot 3 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.10.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{10 (2 \cdot 3 x) + 10 (2 (- x^{2}) x) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.10.6

Vereine die Terme

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Schritt 3.10.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{10 (6 x) + 10 (2 (- x^{2}) x) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.10.6.2

Mutltipliziere $6$ mit $10$ .

$\frac{60 x + 10 (2 (- x^{2}) x) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.10.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{60 x + 10 (- 2 x^{2} x) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.10.6.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{60 x + 10 (- 2 (x^{1} x^{2})) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.10.6.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{60 x + 10 (- 2 x^{1 + 2}) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.10.6.6

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{60 x + 10 (- 2 x^{3}) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.10.6.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $10$ .

$\frac{60 x - 20 x^{3} + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.10.6.8

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$\frac{60 x - 20 x^{3} + 20 x^{3}}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.10.6.9

Addiere $- 20 x^{3}$ und $20 x^{3}$ .

$\frac{60 x + 0}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.10.6.10

Addiere $60 x$ und $0$ .

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.10.6.11

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{16 {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.10.6.12

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{4}$ .

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Schritt 3.10.6.12.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{16 x^{2 \cdot 4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.10.6.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{16 x^{8}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.10.6.13

Mutltipliziere $\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ mit $\frac{16 x^{8}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$ .

$\frac{60 x (16 x^{8})}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.10.6.14

Mutltipliziere $16$ mit $60$ .

$\frac{960 x \cdot x^{8}}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.10.6.15

Multipliziere $x$ mit $x^{8}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.10.6.15.1

Bewege $x^{8}$ .

$\frac{960 (x^{8} x)}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.10.6.15.2

Mutltipliziere $x^{8}$ mit $x$ .

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Schritt 3.10.6.15.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{960 (x^{8} x^{1})}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.10.6.15.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{960 x^{8 + 1}}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.10.6.15.3

Addiere $8$ und $1$ .

$\frac{960 x^{9}}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.10.6.16

Multipliziere ${(3 - x^{2})}^{2}$ mit ${(3 - x^{2})}^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.10.6.16.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{960 x^{9}}{{(3 - x^{2})}^{2 + 4}}$

Schritt 3.10.6.16.2

Addiere $2$ und $4$ .

$\frac{960 x^{9}}{{(3 - x^{2})}^{6}}$

Schritt 3.10.7

Stelle die Terme um.

$\frac{960 x^{9}}{{(- x^{2} + 3)}^{6}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{960 x^{9}}{{(- x^{2} + 3)}^{6}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{960 x^{9}}{{(- x^{2} + 3)}^{6}}$