Analysis Beispiele

${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$ als Funktion.

$f (x) = {(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int {(\sin (x) - \cos (x))}^{2} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe ${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$ als $(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ um.

$\int (\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

Schritt 4.2

Multipliziere $(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \sin (x) (\sin (x) - \cos (x)) - \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

Schritt 4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Schritt 4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Schritt 4.3.1.1.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Schritt 4.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Schritt 4.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Schritt 4.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Schritt 4.3.1.3

Multipliziere $- \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Schritt 4.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Schritt 4.3.1.3.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Schritt 4.3.1.3.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

Schritt 4.3.1.3.4

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

Schritt 4.3.1.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Schritt 4.3.1.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Schritt 4.3.2

Stelle die Faktoren von $- \sin (x) \cos (x)$ um.

$\int \sin^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Schritt 4.3.3

Subtrahiere $\cos (x) \sin (x)$ von $- \cos (x) \sin (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Schritt 4.4

Bewege $\cos^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Schritt 4.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int 1 - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d x + \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Schritt 7

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$x + C - 2 \int \cos (x) \sin (x) d x$

Schritt 8

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 8.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$x + C - 2 \int - u d u$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x + C - 2 (- \int u d u)$

Schritt 10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$x + C + 2 \int u d u$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$x + C + 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

$x + 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Schritt 12.2

Vereinfache.

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Schritt 12.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$x + \frac{2}{2} u^{2} + C$

Schritt 12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + \frac{2}{2} u^{2} + C$

Schritt 12.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x + 1 u^{2} + C$

Schritt 12.2.3

Mutltipliziere $u^{2}$ mit $1$ .

$x + u^{2} + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$x + \cos^{2} (x) + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = {(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x + \cos^{2} (x) + C$