Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0)$

Schritt 1.2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x)$

Schritt 1.2.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2}{x^{2} + 1} x$

Schritt 1.2.4.3

Kombiniere $\frac{2}{x^{2} + 1}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 1})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $x^{2} + 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.8

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.9

Kombiniere $2$ und $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{2 x}{x^{2} + 1} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 4.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 4.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 4.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4.1.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0)$

Schritt 4.1.2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x)$

Schritt 4.1.2.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2}{x^{2} + 1} x$

Schritt 4.1.2.4.3

Kombiniere $\frac{2}{x^{2} + 1}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 x}{x^{2} + 1} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + 1} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x = 0$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{- 2 {(0)}^{2} + 2}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{- 2 \cdot 0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.1.3

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2}{{(0 + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{2}{1^{2}}$

Schritt 9.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{1}$

Schritt 9.3

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$

Schritt 10

$x = 0$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \ln ({(0)}^{2} + 1)$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \ln (0 + 1)$

Schritt 11.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f (0) = \ln (1)$

Schritt 11.2.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 11.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ .

$(0, 0)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13