Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} - 1}{x - 1}$

Schritt 1

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}{x - 1}$

Schritt 1.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{- \sqrt{x}}{\sqrt{x}}}{x - 1}$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}}}{x - 1}$

Schritt 2

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{1}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} (x - 1)}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

Schritt 3.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

Schritt 3.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1 - \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1 - \sqrt{1}}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.3.1.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

Schritt 3.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

Schritt 3.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 3.1.3.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 3.1.3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot (lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}$

Schritt 3.1.3.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

Schritt 3.1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{1} \cdot (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

Schritt 3.1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{1} \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 3.1.3.6

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.6.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{0}{1 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 3.1.3.6.2

Mutltipliziere $1 - 1 \cdot 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 3.1.3.6.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.6.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} (x - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \sqrt{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Schritt 3.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Schritt 3.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Schritt 3.3.4.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Schritt 3.3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Schritt 3.3.4.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Schritt 3.3.4.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Schritt 3.3.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Schritt 3.3.4.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.4.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Schritt 3.3.4.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Schritt 3.3.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Schritt 3.3.4.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Schritt 3.3.4.10

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Schritt 3.3.5

Subtrahiere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ von $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Schritt 3.3.6

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x - 1)]}$

Schritt 3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 3.3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 3.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 3.3.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 3.3.11

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 3.3.12

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 3.3.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

Schritt 3.3.14

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Schritt 3.3.15

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Schritt 3.3.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Schritt 3.3.17

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.17.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Schritt 3.3.17.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

Schritt 3.3.18

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

Schritt 3.3.19

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Schritt 3.3.20

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 3.3.21

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.21.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 3.3.21.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.21.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 3.3.21.2.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 3.3.21.2.3

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.21.2.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.21.2.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 3.3.21.2.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 3.3.21.2.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 3.3.21.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 3.3.21.2.3.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 3.3.21.2.4

Schreibe $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ als $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 3.3.21.2.5

Um $x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 3.3.21.2.6

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 3.3.21.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 3.3.21.2.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 3.3.21.2.9

Addiere $2 x^{\frac{1}{2}}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 3.5

Wandle die gebrochene Exponenten in Wurzelausdrücke um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 3.5.2

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 3.5.3

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$ mit $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{(\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}) (2 \sqrt{x})}$

Schritt 3.7

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Um $\frac{3 \sqrt{x}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{(\frac{3 \sqrt{x}}{2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}) (2 \sqrt{x})}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt{x}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{(\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}) (2 \sqrt{x})}$

Schritt 3.7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}} (2 \sqrt{x})}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}} (2 \sqrt{x})}$

Schritt 4.2

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- \frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}} (\sqrt{x})}$

Schritt 4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}} (\sqrt{x})}$

Schritt 4.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}} (\sqrt{x})}$

Schritt 4.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Schritt 4.6

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Schritt 4.7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Schritt 4.8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 \sqrt{x} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Schritt 4.9

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 1} \sqrt{x} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Schritt 4.10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 1} \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Schritt 4.11

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Schritt 4.12

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Schritt 4.13

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Schritt 4.14

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Schritt 4.15

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Schritt 5.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}}$

Schritt 6.1.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}}$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}}$

Schritt 6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}}$

Schritt 6.1.6

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}}$

Schritt 6.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1} \cdot \sqrt{1}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{2} \sqrt{1}}$

Schritt 6.3.2

Kombiniere $\frac{2}{2}$ und $\sqrt{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \sqrt{1}}{2}}$

Schritt 6.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2}}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{2}}$

Schritt 6.6

Dividiere $2$ durch $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 6.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 6.7.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 6.8

Mutltipliziere $- \frac{1}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$- 0.5$