Analysis Beispiele

$\int (2 x^{2} + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{7}} - 4 \sin (x) + 2 e^{x}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int 2 x^{2} + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{7}} - 4 \sin (x) + 2 e^{x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 x^{2} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{5}{x^{7}} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int x^{2} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{5}{x^{7}} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{5}{x^{7}} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Schritt 5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{5}{x^{7}} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{5}{x^{7}} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Schritt 7

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{1}{x^{7}} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Bringe $x^{7}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int {(x^{7})}^{- 1} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int {(x^{7})}^{- 1} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Schritt 8.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{7})}^{- 1}$ .

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Schritt 8.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int x^{7 \cdot - 1} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Schritt 8.2.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int x^{- 7} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 7}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{6} x^{- 6}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- \frac{1}{6} x^{- 6} + C) + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $x^{- 6}$ und $\frac{1}{6}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- \frac{x^{- 6}}{6} + C) + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Schritt 10.2

Bringe $x^{- 6}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- \frac{1}{6 x^{6}} + C) + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Schritt 11

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- \frac{1}{6 x^{6}} + C) - 4 \int \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Schritt 12

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- \frac{1}{6 x^{6}} + C) - 4 (- \cos (x) + C) + \int 2 e^{x} d x$

Schritt 13

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- \frac{1}{6 x^{6}} + C) - 4 (- \cos (x) + C) + 2 \int e^{x} d x$

Schritt 14

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- \frac{1}{6 x^{6}} + C) - 4 (- \cos (x) + C) + 2 (e^{x} + C)$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache.

$\frac{2 x^{3}}{3} + 3 \ln (| x |) - \frac{5}{6 x^{6}} + 4 \cos (x) + 2 e^{x} + C$

Schritt 15.2

Stelle die Terme um.

$\frac{2}{3} x^{3} + 3 \ln (| x |) - \frac{5}{6 x^{6}} + 4 \cos (x) + 2 e^{x} + C$