Analysis Beispiele

$\frac{2 x}{1 + x^{4}}$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{1 + x^{4}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{4}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{4}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 1 + x^{4}$ .

$2 \frac{(1 + x^{4}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{(1 + x^{4}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $1 + x^{4}$ mit $1$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - x (4 x^{3})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 x \cdot x^{3}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 4

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Bewege $x^{3}$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x)}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x^{1})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 x^{3 + 1}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 4.3

Addiere $3$ und $1$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 5

Subtrahiere $4 x^{4}$ von $x^{4}$ .

$2 \frac{1 - 3 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 6

Kombiniere $2$ und $\frac{1 - 3 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$ .

$\frac{2 (1 - 3 x^{4})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- 3 x^{4})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 + 2 (- 3 x^{4})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{2 - 6 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 7.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- 6 x^{4} + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$