Analysis Beispiele

$\int_{1}^{e} \frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y$

Schritt 1

Sei $u_{1} = \ln (y)$ . Dann ist $d u_{1} = \frac{1}{y} d y$ , folglich $y d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = \ln (y)$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\ln (y)$ nach $y$ ist $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $y$ in $u_{1} = \ln (y)$ ein.

$u_{lower} = \ln (1)$

Schritt 1.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $y$ in $u_{1} = \ln (y)$ ein.

$u_{upper} = \ln (e)$

Schritt 1.5

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{1}$ , $d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Schritt 2

Sei $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + u_{1}$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 2.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 2.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = 1 + u_{1}$ ein.

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = 1 + u_{1}$ ein.

$u_{upper} = 1 + 1$

Schritt 2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 3

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}$

Schritt 4

Berechne $\ln (| u_{2} |)$ bei $2$ und $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 5

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

Schritt 6.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\ln (\frac{2}{1})$

Schritt 6.3

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\ln (2)$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\ln (2)$

Dezimalform:

$0.69314718 \dots$