Analysis Beispiele

$y = (4 x^{3} + 8) (2 x^{7} - 3)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((4 x^{3} + 8) (2 x^{7} - 3))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 4 x^{3} + 8$ und $g (x) = 2 x^{7} - 3$ .

$(4 x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [2 x^{7} - 3] + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{7} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(4 x^{3} + 8) (\frac{d}{d x} [2 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Schritt 3.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{7}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$(4 x^{3} + 8) (2 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$(4 x^{3} + 8) (2 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 3]) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$(4 x^{3} + 8) (14 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 3]) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Schritt 3.2.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(4 x^{3} + 8) (14 x^{6} + 0) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.6.1

Addiere $14 x^{6}$ und $0$ .

$(4 x^{3} + 8) (14 x^{6}) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Schritt 3.2.6.2

Bringe $14$ auf die linke Seite von $4 x^{3} + 8$ .

$14 \cdot (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Schritt 3.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 3.2.8

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 3.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 3.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 3.2.11

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (12 x^{2} + 0)$

Schritt 3.2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.12.1

Addiere $12 x^{2}$ und $0$ .

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (12 x^{2})$

Schritt 3.2.12.2

Bringe $12$ auf die linke Seite von $2 x^{7} - 3$ .

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + 12 \cdot (2 x^{7} - 3) x^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(14 (4 x^{3}) + 14 \cdot 8) x^{6} + 12 (2 x^{7} - 3) x^{2}$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$14 (4 x^{3}) x^{6} + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7} - 3) x^{2}$

Schritt 3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$14 (4 x^{3}) x^{6} + 14 \cdot 8 x^{6} + (12 (2 x^{7}) + 12 \cdot - 3) x^{2}$

Schritt 3.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$14 (4 x^{3}) x^{6} + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Schritt 3.3.5

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $14$ .

$56 x^{3} x^{6} + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Schritt 3.3.5.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{6}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.5.2.1

Bewege $x^{6}$ .

$56 (x^{6} x^{3}) + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Schritt 3.3.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$56 x^{6 + 3} + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Schritt 3.3.5.2.3

Addiere $6$ und $3$ .

$56 x^{9} + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Schritt 3.3.5.3

Mutltipliziere $14$ mit $8$ .

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Schritt 3.3.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 24 x^{7} x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Schritt 3.3.5.5

Multipliziere $x^{7}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.5.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 24 (x^{2} x^{7}) + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Schritt 3.3.5.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 24 x^{2 + 7} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Schritt 3.3.5.5.3

Addiere $2$ und $7$ .

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 24 x^{9} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Schritt 3.3.5.6

Mutltipliziere $12$ mit $- 3$ .

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 24 x^{9} - 36 x^{2}$

Schritt 3.3.5.7

Addiere $56 x^{9}$ und $24 x^{9}$ .

$80 x^{9} + 112 x^{6} - 36 x^{2}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 80 x^{9} + 112 x^{6} - 36 x^{2}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 80 x^{9} + 112 x^{6} - 36 x^{2}$