Analysis Beispiele

$\int \frac{4}{\sqrt[3]{2 x + 1}} d x$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \frac{1}{\sqrt[3]{2 x + 1}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 2 x + 1$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 2 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$4 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 2} d u$

Schritt 3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt[3]{u}$ .

$4 \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 5.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 5.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 5.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 5.1.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 5.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u}$ als $u^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Schritt 5.2.2

Bringe $u^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Schritt 5.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Schritt 5.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ als $2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$ um.

$2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 7.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 7.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 7.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 7.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{1} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 7.2.3.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 1$ .

$3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} + C$