Analysis Beispiele

$y'' + 3 y' + 2 y = 6$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung um.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 6$

Schritt 2

Nimm an, alle Lösungen haben die Form $y = e^{r x}$ .

Schritt 3

Ermittle die charakteristische Gleichung für $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Bestimme die erste Ableitung.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Schritt 3.2

Bestimme die zweite Ableitung.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Schritt 3.3

Setze in die Differentialgleichung ein.

$r^{2} e^{r x} + 3 (r e^{r x}) + 2 e^{r x} = 6$

Schritt 3.4

Entferne die Klammern.

$r^{2} e^{r x} + 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 6$

Schritt 3.5

Faktorisiere $e^{r x}$ aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $r^{2} e^{r x}$ heraus.

$e^{r x} r^{2} + 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 6$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $3 r e^{r x}$ heraus.

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (3 r) + 2 e^{r x} = 6$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (3 r)$ heraus.

$e^{r x} (r^{2} + 3 r) + 2 e^{r x} = 6$

Schritt 3.5.4

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $2 e^{r x}$ heraus.

$e^{r x} (r^{2} + 3 r) + e^{r x} \cdot 2 = 6$

Schritt 3.5.5

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $e^{r x} (r^{2} + 3 r) + e^{r x} \cdot 2$ heraus.

$e^{r x} (r^{2} + 3 r + 2) = 6$

Schritt 3.6

Da Exponentialfunktionen nie null sein können, teile beide Seiten durch $e^{r x}$ .

$r^{2} + 3 r + 2 = 6$

Schritt 4

Löse nach $r$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} + 3 r + 2 - 6 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$r^{2} + 3 r - 4 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere $r^{2} + 3 r - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $3$ ist.

$- 1, 4$

Schritt 4.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(r - 1) (r + 4) = 0$

Schritt 4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$r - 1 = 0$

$r + 4 = 0$

Schritt 4.5

Setze $r - 1$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Setze $r - 1$ gleich $0$ .

$r - 1 = 0$

Schritt 4.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r = 1$

Schritt 4.6

Setze $r + 4$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Setze $r + 4$ gleich $0$ .

$r + 4 = 0$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r = - 4$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(r - 1) (r + 4) = 0$ wahr machen.

$r = 1, - 4$

Schritt 5

Mit den beiden gefundenen Werten von $r$ lassen sich zwei Lösungen entwickeln.

$y_{1} = e^{1 x}$

$y_{2} = e^{- 4 x}$

Schritt 6

Gemäß dem Überlagerungsprinzip ist die allgemeine Lösung eine Linearkombination von zwei Lösungen für eine homogene lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung.

$y = c_{1} e^{1 x} + c_{2} e^{- 4 x}$

Schritt 7

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{- 4 x}$