Analysis Beispiele

$lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{x + 11}}{\sqrt{x - 1}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 5} \sqrt{x + 11}}{lim_{x \to 5} \sqrt{x - 1}}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 5} x + 11}}{lim_{x \to 5} \sqrt{x - 1}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 11}}{lim_{x \to 5} \sqrt{x - 1}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $11$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $5$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 5} x + 11}}{lim_{x \to 5} \sqrt{x - 1}}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 5} x + 11}}{\sqrt{lim_{x \to 5} x - 1}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 5} x + 11}}{\sqrt{lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 1}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $5$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 5} x + 11}}{\sqrt{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 1}}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $5$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{5 + 11}}{\sqrt{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 1}}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{5 + 11}}{\sqrt{5 - 1 \cdot 1}}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Addiere $5$ und $11$ .

$\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{5 - 1 \cdot 1}}$

Schritt 9.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{\sqrt{5 - 1 \cdot 1}}$

Schritt 9.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{4}{\sqrt{5 - 1 \cdot 1}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{4}{\sqrt{5 - 1}}$

Schritt 9.2.2

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$\frac{4}{\sqrt{4}}$

Schritt 9.2.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{4}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 9.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{4}{2}$

Schritt 9.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$2$