Analysis Beispiele

$\int (2 x + 1) {(x - 6)}^{2} d x$

Schritt 1

Sei $u = x - 6$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x - 6$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.4

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int (2 (u + 6) + 1) u^{2} d u$

Schritt 2

Multipliziere $(2 (u + 6) + 1) u^{2}$ aus.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (2 u + 2 \cdot 6 + 1) u^{2} d u$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (2 u + 2 \cdot 6) u^{2} + 1 u^{2} d u$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 2 u \cdot u^{2} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Schritt 2.4

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int 2 (u^{1} u^{2}) + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Schritt 2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 2 u^{1 + 2} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Schritt 2.6

Addiere $1$ und $2$ .

$\int 2 u^{3} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\int 2 u^{3} + 12 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $u^{2}$ mit $1$ .

$\int 2 u^{3} + 12 u^{2} + u^{2} d u$

Schritt 2.9

Addiere $12 u^{2}$ und $u^{2}$ .

$\int 2 u^{3} + 13 u^{2} d u$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 u^{3} d u + \int 13 u^{2} d u$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int u^{3} d u + \int 13 u^{2} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int 13 u^{2} d u$

Schritt 6

Da $13$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $13$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 13 \int u^{2} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 13 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$2 (\frac{1}{4}) u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{4} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Schritt 8.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Schritt 8.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Schritt 8.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Schritt 8.2.3

Kombiniere $13$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} u^{4} + \frac{13}{3} u^{3} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $x - 6$ .

$\frac{1}{2} {(x - 6)}^{4} + \frac{13}{3} {(x - 6)}^{3} + C$