Analysis Beispiele

$f (x) = - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $- 7 x + 5 x^{5}$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- 7 x$ heraus.

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x \cdot - 7 + 5 x^{5}}{x^{2}} d x$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $5 x^{5}$ heraus.

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x \cdot - 7 + x (5 x^{4})}{x^{2}} d x$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot - 7 + x (5 x^{4})$ heraus.

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x^{2}} d x$

Schritt 3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x \cdot x} d x$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x \cdot x} d x$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 9 e^{- 9 x} d x + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Schritt 5

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 9$ aus dem Integral.

$- 9 \int e^{- 9 x} d x + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Schritt 6

Sei $u = - 9 x$ . Dann ist $d u = - 9 d x$ , folglich $- \frac{1}{9} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = - 9 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$

Schritt 6.1.2

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 9 \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$- 9$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- 9 \int e^{u} \frac{1}{- 9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 9 \int e^{u} (- \frac{1}{9}) d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Schritt 7.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{9}$ .

$- 9 \int - \frac{e^{u}}{9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- 9 (- \int \frac{e^{u}}{9} d u) + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Schritt 9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$9 \int \frac{e^{u}}{9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Schritt 10

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{9}$ aus dem Integral.

$9 (\frac{1}{9} \int e^{u} d u) + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $9$ .

$\frac{9}{9} \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{9} \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Schritt 11.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Schritt 11.3

Mutltipliziere $\int e^{u} d u$ mit $1$ .

$\int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Schritt 12

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{u} + C + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Schritt 13

Stelle $- 7$ und $5 x^{4}$ um.

$e^{u} + C + \int \frac{5 x^{4} - 7}{x} d x$

Schritt 14

Dividiere $5 x^{4} - 7$ durch $x$ .

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Schritt 14.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

Schritt 14.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $5 x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

Schritt 14.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

Schritt 14.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $5 x^{4} + 0$

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

Schritt 14.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

Schritt 14.6

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

$0 x^{2}$

$0 x$

Schritt 14.7

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$e^{u} + C + \int 5 x^{3} - \frac{7}{x} d x$

Schritt 15

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$e^{u} + C + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{7}{x} d x$

Schritt 16

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$e^{u} + C + 5 \int x^{3} d x + \int - \frac{7}{x} d x$

Schritt 17

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$e^{u} + C + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \frac{7}{x} d x$

Schritt 18

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int - \frac{7}{x} d x$

Schritt 19

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \frac{7}{x} d x$

Schritt 20

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (7 \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 21

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 7 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 22

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 7 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 23

Vereinfache.

$e^{u} + \frac{5 x^{4}}{4} - 7 \ln (| x |) + C$

Schritt 24

Ersetze alle $u$ durch $- 9 x$ .

$e^{- 9 x} + \frac{5 x^{4}}{4} - 7 \ln (| x |) + C$

Schritt 25

Stelle die Terme um.

$e^{- 9 x} + \frac{5}{4} x^{4} - 7 \ln (| x |) + C$

Schritt 26

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $e^{- 9 x} + \frac{5}{4} x^{4} - 7 \ln (| x |) + C$