Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} {(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe ${(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}}$ als $e^{\ln ({(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}})}$ um.

$lim_{x \to 2} e^{\ln ({(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{x - 2}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 2} e^{\frac{1}{x - 2} \ln (\frac{x}{2})}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} \ln (\frac{x}{2})}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{x - 2}$ und $\ln (\frac{x}{2})$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\ln (\frac{x}{2})}{x - 2}}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{\frac{lim_{x \to 2} \ln (\frac{x}{2})}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 2} \frac{x}{2})}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

Schritt 3.1.2.1.2

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{2} lim_{x \to 2} x)}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{2} \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{2} \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

Schritt 3.1.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

Schritt 3.1.2.3.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}}$

Schritt 3.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}}$

Schritt 3.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$e^{\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}}$

Schritt 3.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e^{\frac{0}{2 - 2}}$

Schritt 3.1.3.3.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Schritt 3.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{0}{0}}$

Schritt 3.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{0}{0}}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{0}{0}}$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 2} \frac{\ln (\frac{x}{2})}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Schritt 3.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Schritt 3.3.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{x}{2}$ zu dividieren.

$e^{lim_{x \to 2} \frac{1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $\frac{2}{x}$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Schritt 3.3.5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Schritt 3.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Schritt 3.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Schritt 3.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Schritt 3.3.9

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Schritt 3.3.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}}$

Schritt 3.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}}$

Schritt 3.3.12

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{1 + 0}}$

Schritt 3.3.13

Addiere $1$ und $0$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{1}}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{lim_{x \to 2} \frac{1}{x} \cdot 1}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{1}{x}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$e^{\frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} x}}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 2} x}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$e^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e^{\frac{1}{2}}$

Dezimalform:

$1.64872127 \dots$