Analysis Beispiele

$f (x) = - x^{3} - 5 x^{2} + 2$ at $x = - 1$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = - 1$ .

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Schritt 1.1

Setze $- 1$ für $x$ ein.

$y = - {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Schritt 1.2

Vereinfache $- {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$ .

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{3}$ .

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Schritt 1.2.1.1.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$y = {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Schritt 1.2.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = {(- 1)}^{1 + 3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Schritt 1.2.1.1.2

Addiere $1$ und $3$ .

$y = {(- 1)}^{4} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Schritt 1.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$y = 1 - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Schritt 1.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = 1 - 5 \cdot 1 + 2$

Schritt 1.2.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$y = 1 - 5 + 2$

Schritt 1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.2.2.1

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$y = - 4 + 2$

Schritt 1.2.2.2

Addiere $- 4$ und $2$ .

$y = - 2$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 1$ und $y = - 2$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{3} - 5 x^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$- 3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 3 x^{2} - 10 x + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $- 3 x^{2} - 10 x$ und $0$ .

$- 3 x^{2} - 10 x$

Schritt 2.5

Bestimme die Ableitung bei $x = - 1$ .

$- 3 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 3 \cdot 1 - 10 \cdot - 1$

Schritt 2.6.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3 - 10 \cdot - 1$

Schritt 2.6.1.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 1$ .

$- 3 + 10$

Schritt 2.6.2

Addiere $- 3$ und $10$ .

$7$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $7$ und einen gegebenen Punkt $(- 1, - 2)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 2) = 7 \cdot (x - (- 1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 2 = 7 \cdot (x + 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $7 \cdot (x + 1)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y + 2 = 0 + 0 + 7 \cdot (x + 1)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 2 = 7 \cdot (x + 1)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 2 = 7 x + 7 \cdot 1$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$y + 2 = 7 x + 7$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 7 x + 7 - 2$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $2$ von $7$ .

$y = 7 x + 5$

Schritt 4