Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} \frac{{(- 3 + h)}^{- 1} + 3^{- 1}}{h}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Wandle negative Exponenten in Brüche um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{- 3 + h} + 3^{- 1}}{h}$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{- 3 + h} + \frac{1}{3}}{h}$

Schritt 1.1.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Um $\frac{1}{- 3 + h}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{- 3 + h} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}{h}$

Schritt 1.1.2.2

Um $\frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 3 + h}{- 3 + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{- 3 + h} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 + h}{- 3 + h}}{h}$

Schritt 1.1.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(- 3 + h) \cdot 3$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{- 3 + h}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3}{(- 3 + h) \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 + h}{- 3 + h}}{h}$

Schritt 1.1.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{- 3 + h}{- 3 + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3}{(- 3 + h) \cdot 3} + \frac{- 3 + h}{3 (- 3 + h)}}{h}$

Schritt 1.1.2.3.3

Stelle die Faktoren von $(- 3 + h) \cdot 3$ um.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3}{3 (- 3 + h)} + \frac{- 3 + h}{3 (- 3 + h)}}{h}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 - 3 + h}{3 (- 3 + h)}}{h}$

Schritt 1.1.2.5

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 + h}{3 (- 3 + h)}}{h}$

Schritt 1.1.2.6

Addiere $0$ und $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{3 (- 3 + h)}}{h}$

Schritt 1.2

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{h \to 0} \frac{h}{3 (- 3 + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $\frac{h}{3 (- 3 + h)}$ mit $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{h}{3 (- 3 + h) h}$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{h \to 0} \frac{h}{3 (- 3 + h) h}$

Schritt 1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{3 (- 3 + h)}$

Schritt 1.3

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{1}{3} lim_{h \to 0} \frac{1}{- 3 + h}$

Schritt 1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} - 3 + h}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} - 3 + h}$

Schritt 1.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- lim_{h \to 0} 3 + lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.7

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot 3 + lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot 3 + 0}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 3 + 0}$

Schritt 3.1.2

Addiere $- 3$ und $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 3}$

Schritt 3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$

Schritt 3.3

Multipliziere $\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{1}{9}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{9}$

Dezimalform:

$- 0.\overline{1}$