Analysis Beispiele

$\int \frac{4 t}{t - t^{2}} d t$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $t$ aus $t - t^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\int \frac{4 t}{t^{1} - t^{2}} d t$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $t$ aus $t^{1}$ heraus.

$\int \frac{4 t}{t \cdot 1 - t^{2}} d t$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $t$ aus $- t^{2}$ heraus.

$\int \frac{4 t}{t \cdot 1 + t (- t)} d t$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $t$ aus $t \cdot 1 + t (- t)$ heraus.

$\int \frac{4 t}{t (1 - t)} d t$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{4 t}{t (1 - t)} d t$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{4}{1 - t} d t$

Schritt 2

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \frac{1}{1 - t} d t$

Schritt 3

Sei $u = 1 - t$ . Dann ist $d u = - d t$ , folglich $- d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = 1 - t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 3.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 3.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$4 \int \frac{- 1}{u} d u$

Schritt 4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 \int - \frac{1}{u} d u$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (- \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 6

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- 4 (\ln (| u |) + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

$- 4 \ln (| u |) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $1 - t$ .

$- 4 \ln (| 1 - t |) + C$