Analysis Beispiele

$\frac{1}{4 \sqrt[4]{x^{3}}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{4 \sqrt[4]{x^{3}}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{4 \sqrt[4]{x^{3}}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{4 \sqrt[4]{x^{3}}} d x$

Schritt 4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt[4]{x^{3}}} d x$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{4}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} d x$

Schritt 5.2

Bringe $x^{\frac{3}{4}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int {(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1} d x$

Schritt 5.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int x^{\frac{3}{4} \cdot - 1} d x$

Schritt 5.3.2

Multipliziere $\frac{3}{4} \cdot - 1$ .

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Schritt 5.3.2.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int x^{\frac{3 \cdot - 1}{4}} d x$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int x^{\frac{- 3}{4}} d x$

Schritt 5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{4} \int x^{- \frac{3}{4}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{3}{4}}$ nach $x$ gleich $4 x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{\frac{1}{4}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Schreibe $\frac{1}{4} (4 x^{\frac{1}{4}} + C)$ als $\frac{1}{4} \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C$ um.

$\frac{1}{4} \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$\frac{4}{4} x^{\frac{1}{4}} + C$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{4} x^{\frac{1}{4}} + C$

Schritt 7.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 x^{\frac{1}{4}} + C$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{4}}$ mit $1$ .

$x^{\frac{1}{4}} + C$

Schritt 8

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{4 \sqrt[4]{x^{3}}}$ .

$F (x) =$ $x^{\frac{1}{4}} + C$