Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{x (1 + \ln^{2} (x))} d x$

Schritt 1

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Schritt 2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

Schritt 3

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ nach $u$ ist $\arctan (u) + C$ .

$\arctan (u) + C$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$\arctan (\ln (x)) + C$