Analysis Beispiele

$\int \frac{5}{2 \sqrt{x^{3}}} d x$

Schritt 1

Da $\frac{5}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{5}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} d x$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 2.2

Bringe $x^{\frac{3}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{5}{2} \int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{2} \int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.3.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{5}{2} \int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{5}{2} \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5}{2} \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{2} (- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C)$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Schreibe $\frac{5}{2} (- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C)$ als $\frac{5}{2} (- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$ um.

$\frac{5}{2} (- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5}{2} (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{5 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$- \frac{10}{2 x^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 4.2.5

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$- \frac{2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 4.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$- \frac{2 \cdot 5}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + C$

Schritt 4.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 4.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + C$