Analysis Beispiele

$y = x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}$

Schritt 1

Schreibe $y = x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}$ als Funktion.

$f (x) = x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x^{2} - 3 x + \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{2} d x + \int - 3 x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 3 x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 3 \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \ln (| x |) + C$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \ln (| x |) + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$