Analysis Beispiele

$y = \frac{1 + 3 x}{2 - x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 + 3 x}{2 - x^{2}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 + 3 x$ und $g (x) = 2 - x^{2}$ .

$\frac{(2 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 3 x] - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{(2 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]) - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(2 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [3 x]) - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{(2 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x] - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 - x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x]) - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $2 - x^{2}$ .

$\frac{3 \cdot (2 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) \cdot 1 - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) - (1 + 3 x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.9

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) - (1 + 3 x) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) - (1 + 3 x) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.12

Multipliziere.

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Schritt 3.2.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) + 1 (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.12.2

Mutltipliziere $1 + 3 x$ mit $1$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) + (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) + (1 + 3 x) (2 x)}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.14

Bringe $2$ auf die linke Seite von $1 + 3 x$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) + 2 \cdot (1 + 3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 2 + 3 (- x^{2}) + 2 (1 + 3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 2 + 3 (- x^{2}) + (2 \cdot 1 + 2 (3 x)) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 2 + 3 (- x^{2}) + 2 \cdot 1 x + 2 (3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.4.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 + 3 (- x^{2}) + 2 \cdot 1 x + 2 (3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{6 - 3 x^{2} + 2 \cdot 1 x + 2 (3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{6 - 3 x^{2} + 2 x + 2 (3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.4.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{6 - 3 x^{2} + 2 x + 2 (3 (x \cdot x))}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{6 - 3 x^{2} + 2 x + 2 (3 x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 - 3 x^{2} + 2 x + 6 x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.2

Addiere $- 3 x^{2}$ und $6 x^{2}$ .

$\frac{6 + 3 x^{2} + 2 x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.5

Stelle die Terme um.

$\frac{3 x^{2} + 2 x + 6}{{(- x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{3 x^{2} + 2 x + 6}{{(- x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + 2 x + 6}{{(- x^{2} + 2)}^{2}}$