Analysis Beispiele

$\int_{- 2}^{6} [4 y - (y^{2} - 12)] d y$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{- 2}^{6} 4 y - (y^{2} - 12) d y$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 2}^{6} 4 y d y + \int_{- 2}^{6} - (y^{2} - 12) d y$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{- 2}^{6} y d y + \int_{- 2}^{6} - (y^{2} - 12) d y$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} - (y^{2} - 12) d y$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} - (y^{2} - 12) d y$

Schritt 6

Multipliziere $- (y^{2} - 12)$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} - y^{2} - - 12 d y$

Schritt 7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} - y^{2} + 12 d y$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} - y^{2} d y + \int_{- 2}^{6} 12 d y$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) - \int_{- 2}^{6} y^{2} d y + \int_{- 2}^{6} 12 d y$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} 12 d y$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} 12 d y$

Schritt 12

Wende die Konstantenregel an.

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 2}^{6}) + 12 y]_{- 2}^{6}$

Schritt 13

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 13.1

Berechne $\frac{y^{2}}{2}$ bei $6$ und $- 2$ .

$4 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 2}^{6}) + 12 y]_{- 2}^{6}$

Schritt 13.2

Berechne $\frac{y^{3}}{3}$ bei $6$ und $- 2$ .

$4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 12 y]_{- 2}^{6}$

Schritt 13.3

Berechne $12 y$ bei $6$ und $- 2$ .

$4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4

Vereinfache.

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Schritt 13.4.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$4 (\frac{36}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $2$ .

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Schritt 13.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $36$ heraus.

$4 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$4 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{18}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.2.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$4 (18 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$4 (18 - \frac{4}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 13.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$4 (18 - \frac{2 \cdot 2}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$4 (18 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (18 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (18 - \frac{2}{1}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$4 (18 - 1 \cdot 2) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 (18 - 2) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.6

Subtrahiere $2$ von $18$ .

$4 \cdot 16 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.7

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$64 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.8

Potenziere $6$ mit $3$ .

$64 - (\frac{216}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $216$ und $3$ .

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Schritt 13.4.9.1

Faktorisiere $3$ aus $216$ heraus.

$64 - (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.4.9.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$64 - (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$64 - (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$64 - (\frac{72}{1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.9.2.4

Dividiere $72$ durch $1$ .

$64 - (72 - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.10

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$64 - (72 - \frac{- 8}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$64 - (72 - - \frac{8}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$64 - (72 + 1 (\frac{8}{3})) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.13

Mutltipliziere $\frac{8}{3}$ mit $1$ .

$64 - (72 + \frac{8}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.14

Um $72$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$64 - (72 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.15

Kombiniere $72$ und $\frac{3}{3}$ .

$64 - (\frac{72 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$64 - \frac{72 \cdot 3 + 8}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.4.17.1

Mutltipliziere $72$ mit $3$ .

$64 - \frac{216 + 8}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.17.2

Addiere $216$ und $8$ .

$64 - \frac{224}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.18

Um $64$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$64 \cdot \frac{3}{3} - \frac{224}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.19

Kombiniere $64$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64 \cdot 3}{3} - \frac{224}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{64 \cdot 3 - 224}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.21

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.4.21.1

Mutltipliziere $64$ mit $3$ .

$\frac{192 - 224}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.21.2

Subtrahiere $224$ von $192$ .

$\frac{- 32}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.22

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{32}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.23

Mutltipliziere $12$ mit $6$ .

$- \frac{32}{3} + 72 - 12 \cdot - 2$

Schritt 13.4.24

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 2$ .

$- \frac{32}{3} + 72 + 24$

Schritt 13.4.25

Addiere $72$ und $24$ .

$- \frac{32}{3} + 96$

Schritt 13.4.26

Um $96$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{32}{3} + 96 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 13.4.27

Kombiniere $96$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{32}{3} + \frac{96 \cdot 3}{3}$

Schritt 13.4.28

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 32 + 96 \cdot 3}{3}$

Schritt 13.4.29

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.4.29.1

Mutltipliziere $96$ mit $3$ .

$\frac{- 32 + 288}{3}$

Schritt 13.4.29.2

Addiere $- 32$ und $288$ .

$\frac{256}{3}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{256}{3}$

Dezimalform:

$85.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$85 \frac{1}{3}$

Schritt 15