Analysis Beispiele

$\int_{0}^{3} (\frac{3}{4} y - \frac{1}{4} y^{2}) d y$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{0}^{3} \frac{3}{4} y - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{3} \frac{3}{4} y d y + \int_{0}^{3} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Schritt 3

Da $\frac{3}{4}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{3}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{3}{4} \int_{0}^{3} y d y + \int_{0}^{3} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{3}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Schritt 5

Da $- \frac{1}{4}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- \frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{3}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{3} - \frac{1}{4} \int_{0}^{3} y^{2} d y$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{3}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{3} - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{3}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\frac{1}{2} y^{2}$ bei $3$ und $0$ .

$\frac{3}{4} ((\frac{1}{2} \cdot 3^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{3}$

Schritt 7.2

Berechne $\frac{1}{3} y^{3}$ bei $3$ und $0$ .

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 7.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $9$ .

$\frac{3}{4} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 7.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{3}{4} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0) - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 7.3.4

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{3}{4} (\frac{9}{2} + 0 (\frac{1}{2})) - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 7.3.5

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{9}{2} + 0) - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 7.3.6

Addiere $\frac{9}{2}$ und $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{9}{2} - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 7.3.7

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{9}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 2} - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 7.3.8

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$\frac{27}{4 \cdot 2} - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 7.3.9

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 7.3.10

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 7.3.11

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $27$ .

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (\frac{27}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 7.3.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $3$ .

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Schritt 7.3.12.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 7.3.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.12.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 7.3.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 7.3.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (\frac{9}{1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 7.3.12.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (9 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 7.3.13

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (9 - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Schritt 7.3.14

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (9 + 0 (\frac{1}{3}))$

Schritt 7.3.15

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (9 + 0)$

Schritt 7.3.16

Addiere $9$ und $0$ .

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} \cdot 9$

Schritt 7.3.17

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{27}{8} - 9 (\frac{1}{4})$

Schritt 7.3.18

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{27}{8} + \frac{- 9}{4}$

Schritt 7.3.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{27}{8} - \frac{9}{4}$

Schritt 7.3.20

Um $- \frac{9}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27}{8} - \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 7.3.21

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.3.21.1

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Schritt 7.3.21.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{27}{8} - \frac{9 \cdot 2}{8}$

Schritt 7.3.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{27 - 9 \cdot 2}{8}$

Schritt 7.3.23

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.23.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$\frac{27 - 18}{8}$

Schritt 7.3.23.2

Subtrahiere $18$ von $27$ .

$\frac{9}{8}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{9}{8}$

Dezimalform:

$1.125$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1 \frac{1}{8}$

Schritt 9