Analysis Beispiele

$4 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Schritt 1

Schreibe $4 \sec (3 x) \tan (3 x)$ als Funktion.

$f (x) = 4 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 4 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$

Schritt 4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \sec (3 x) \tan (3 x) d x$

Schritt 5

Sei $u_{2} = \sec (3 x)$ . Dann ist $d u_{2} = 3 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u_{2} = \sec (3 x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 5.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 5.1.2.2

Die Ableitung von $\sec (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 5.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere.

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Schritt 5.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Schritt 5.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.3.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Schritt 5.1.3.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$4 \int \frac{1}{3} d u_{2}$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$4 (\frac{1}{3} u_{2} + C)$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Schreibe $4 (\frac{1}{3} u_{2} + C)$ als $4 (\frac{1}{3}) u_{2} + C$ um.

$4 (\frac{1}{3}) u_{2} + C$

Schritt 7.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} u_{2} + C$

Schritt 7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sec (3 x)$ .

$\frac{4}{3} \sec (3 x) + C$

Schritt 8

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 4 \sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{3} \sec (3 x) + C$