Analysis Beispiele

$\sum_{k = 0}^{6} (\frac{3}{2}) \cdot k^{2}$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $k^{2}$ .

$\frac{3 k^{2}}{2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Summe um.

$\sum_{k = 0}^{6} \frac{3 k^{2}}{2}$

Schritt 2

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $k$ gleich $1$ ist.

$\sum_{k = 0}^{6} \frac{3 k^{2}}{2} = \sum_{k = 1}^{6} \frac{3 k^{2}}{2} + \sum_{k = 0}^{0} \frac{3 k^{2}}{2}$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 1}^{6} \frac{3 k^{2}}{2}$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $\frac{3}{2}$ aus der Summe raus.

$(\frac{3}{2}) \sum_{k = 1}^{6} k^{2}$

Schritt 3.2

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 3.3

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(\frac{3}{2}) (\frac{6 (6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)}{6})$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1.1

Addiere $6$ und $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{6 \cdot 7 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Schritt 3.4.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.4.1.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{42 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Schritt 3.4.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{42 (12 + 1)}{6}$

Schritt 3.4.1.3

Addiere $12$ und $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{42 \cdot 13}{6}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $42$ mit $13$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{546}{6}$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{546}{3 (2)}$

Schritt 3.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{546}{3 \cdot 2}$

Schritt 3.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{546}{2}$

Schritt 3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $546$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (273)}{2}$

Schritt 3.4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 273}{2}$

Schritt 3.4.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{273}{2}$

Schritt 4

Berechne $\sum_{k = 0}^{0} \frac{3 k^{2}}{2}$ .

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Schritt 4.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $k$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2}}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{2}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0}{2}$

Schritt 4.2.3

Dividiere $0$ durch $2$ .

$0$

Schritt 5

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$\frac{273}{2} + 0$

Schritt 6

Addiere $\frac{273}{2}$ und $0$ .

$\frac{273}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{273}{2}$

Dezimalform:

$136.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$136 \frac{1}{2}$