Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} - 6 x + 9}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - x - 2$ und $g (x) = x^{2} - 6 x + 9$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2] - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Addiere $2 x - 1$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 6 x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.2.10

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.2.12

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.2.13

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (2 x - 6 + 0)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.2.14

Addiere $2 x - 6$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.1.1

Multipliziere $(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 1 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.2.1.2.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.3.2.1.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 1 \cdot x^{2} - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.4

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 6 \cdot 2 x \cdot x - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.2.1.2.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 6 \cdot 2 (x \cdot x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 6 \cdot 2 x^{2} - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.7

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 12 x^{2} - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 12 x^{2} + 6 x + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.9

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 12 x^{2} + 6 x + 18 x + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.10

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 12 x^{2} + 6 x + 18 x - 9 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.3

Subtrahiere $12 x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 6 x + 18 x - 9 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.4

Addiere $6 x$ und $18 x$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.1.5.1

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 1.3.2.1.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 + (- x^{2} + 1 x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.5.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 + (- x^{2} + x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 + (- x^{2} + x + 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.6

Multipliziere $(- x^{2} + x + 2) (2 x - 6)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 6 + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.1.7.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot - 6 + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.7.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.2.1.7.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 6 + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.3.2.1.7.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 6 + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.7.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 6 + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.7.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 6 + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 6 + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.7.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.7.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x \cdot x + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.7.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.2.1.7.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 (x \cdot x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.7.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x^{2} + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.7.7

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x^{2} - 6 \cdot x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.7.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x^{2} - 6 x + 4 x + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.7.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x^{2} - 6 x + 4 x - 12}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.8

Addiere $6 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 6 x + 4 x - 12}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.9

Addiere $- 6 x$ und $4 x$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x - 12}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x - 12$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{- 13 x^{2} + 24 x - 9 + 0 + 8 x^{2} - 2 x - 12}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.2.2

Addiere $- 13 x^{2} + 24 x - 9$ und $0$ .

$\frac{- 13 x^{2} + 24 x - 9 + 8 x^{2} - 2 x - 12}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.3

Addiere $- 13 x^{2}$ und $8 x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x - 12}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.4

Subtrahiere $2 x$ von $24 x$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 22 x - 9 - 12}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.5

Subtrahiere $12$ von $- 9$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 22 x - 21}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.3.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 5 \cdot - 21 = 105$ und deren Summe gleich $b = 22$ ist.

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Schritt 1.3.3.1.1

Faktorisiere $22$ aus $22 x$ heraus.

$\frac{- 5 x^{2} + 22 (x) - 21}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.2

Schreibe $22$ um als $7$ plus $15$

$\frac{- 5 x^{2} + (7 + 15) x - 21}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 5 x^{2} + 7 x + 15 x - 21}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.3.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- 5 x^{2} + 7 x) + 15 x - 21}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (- 5 x + 7) - 3 (- 5 x + 7)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 5 x + 7$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.4.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.3.4.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} - 6 x + 3^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.4.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 1.3.4.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.4.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{{({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 3)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.3.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{{(x - 3)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.3.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{{(x - 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.4.3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} + 4 x^{3} \cdot - 3 + 6 x^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.4.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.4.4.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 9 + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.4.4.3

Mutltipliziere $9$ mit $6$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.4.4.4

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} + 4 x \cdot - 27 + {(- 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.4.4.5

Mutltipliziere $- 27$ mit $4$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + {(- 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.4.4.6

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81}$

Schritt 1.3.4.5

Passe jeden Term so an, dass er den Termen des binomischen Lehrsatzes entspricht.

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} - 4 \cdot 3 x^{3} + 6 \cdot 3^{2} x^{2} - 4 \cdot 3^{3} x + 3^{4}}$

Schritt 1.3.4.6

Faktorisiere $x^{4} - 4 \cdot 3 x^{3} + 6 \cdot 3^{2} x^{2} - 4 \cdot 3^{3} x + 3^{4}$ mithilfe des Binomischen Lehrsatzes.

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{{(3 - x)}^{4}}$

Schritt 1.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 3$ und ${(3 - x)}^{4}$ .

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Schritt 1.3.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{(- 5 x + 7) (- 1 (- x) - 3)}{{(3 - x)}^{4}}$

Schritt 1.3.5.2

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{(- 5 x + 7) (- 1 (- x) - 1 (3))}{{(3 - x)}^{4}}$

Schritt 1.3.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{(- 5 x + 7) (- 1 (- x + 3))}{{(3 - x)}^{4}}$

Schritt 1.3.5.4

Stelle die Terme um.

$\frac{(- 5 x + 7) (- 1 (- x + 3))}{{(- x + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.5.5

Faktorisiere $- x + 3$ aus $(- 5 x + 7) (- 1 (- x + 3))$ heraus.

$\frac{(- x + 3) ((- 5 x + 7) \cdot (- 1))}{{(- x + 3)}^{4}}$

Schritt 1.3.5.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.5.6.1

Faktorisiere $- x + 3$ aus ${(- x + 3)}^{4}$ heraus.

$\frac{(- x + 3) ((- 5 x + 7) \cdot (- 1))}{(- x + 3) {(- x + 3)}^{3}}$

Schritt 1.3.5.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(- x + 3) ((- 5 x + 7) \cdot (- 1))}{(- x + 3) {(- x + 3)}^{3}}$

Schritt 1.3.5.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(- 5 x + 7) \cdot (- 1)}{{(- x + 3)}^{3}}$

Schritt 1.3.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $- 5 x + 7$ .

$\frac{- 1 \cdot (- 5 x + 7)}{{(- x + 3)}^{3}}$

Schritt 1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{- 5 x + 7}{{(- x + 3)}^{3}}$

Schritt 1.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x$ heraus.

$- \frac{- (5 x) + 7}{{(- x + 3)}^{3}}$

Schritt 1.3.9

Schreibe $7$ als $- 1 (- 7)$ um.

$- \frac{- (5 x) - 1 (- 7)}{{(- x + 3)}^{3}}$

Schritt 1.3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x) - 1 (- 7)$ heraus.

$- \frac{- (5 x - 7)}{{(- x + 3)}^{3}}$

Schritt 1.3.11

Schreibe $- (5 x - 7)$ als $- 1 (5 x - 7)$ um.

$- \frac{- 1 (5 x - 7)}{{(- x + 3)}^{3}}$

Schritt 1.3.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{5 x - 7}{{(- x + 3)}^{3}}$

Schritt 1.3.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{5 x - 7}{{(- x + 3)}^{3}}$

Schritt 1.3.14

Mutltipliziere $\frac{5 x - 7}{{(- x + 3)}^{3}}$ mit $1$ .

$\frac{5 x - 7}{{(- x + 3)}^{3}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

$f'' (x) = \frac{{(- x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} (5 x - 7) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} {(- x + 3)}^{3}}{{({(- x + 3)}^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- x + 3)}^{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} (5 x - 7) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} {(- x + 3)}^{3}}{{(- x + 3)}^{3 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} (5 x - 7) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} {(- x + 3)}^{3}}{{(- x + 3)}^{6}}$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 7)) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} {(- x + 3)}^{3}}{{(- x + 3)}^{6}}$

Schritt 2.2.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x + 3)}^{3} (5 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7)) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} {(- x + 3)}^{3}}{{(- x + 3)}^{6}}$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x + 3)}^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7)) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} {(- x + 3)}^{3}}{{(- x + 3)}^{6}}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x + 3)}^{3} (5 + \frac{d}{d x} (- 7)) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} {(- x + 3)}^{3}}{{(- x + 3)}^{6}}$

Schritt 2.2.6

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x + 3)}^{3} (5 + 0) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} {(- x + 3)}^{3}}{{(- x + 3)}^{6}}$

Schritt 2.2.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.7.1

Addiere $5$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x + 3)}^{3} \cdot 5 - (5 x - 7) \frac{d}{d x} {(- x + 3)}^{3}}{{(- x + 3)}^{6}}$

Schritt 2.2.7.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von ${(- x + 3)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot {(- x + 3)}^{3} - (5 x - 7) \frac{d}{d x} {(- x + 3)}^{3}}{{(- x + 3)}^{6}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = - x + 3$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x + 3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(- x + 3)}^{3} - (5 x - 7) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (- x + 3))}{{(- x + 3)}^{6}}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(- x + 3)}^{3} - (5 x - 7) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (- x + 3))}{{(- x + 3)}^{6}}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- x + 3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(- x + 3)}^{3} - (5 x - 7) (3 {(- x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (- x + 3))}{{(- x + 3)}^{6}}$

Schritt 2.4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(- x + 3)}^{3} - 3 (5 x - 7) ({(- x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (- x + 3))}{{(- x + 3)}^{6}}$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere ${(- x + 3)}^{2}$ aus $5 {(- x + 3)}^{3} - 3 (5 x - 7) ({(- x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [- x + 3])$ heraus.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere ${(- x + 3)}^{2}$ aus $5 {(- x + 3)}^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(- x + 3)}^{2} (5 (- x + 3)) - 3 (5 x - 7) ({(- x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (- x + 3))}{{(- x + 3)}^{6}}$

Schritt 2.4.2.2

Faktorisiere ${(- x + 3)}^{2}$ aus $- 3 (5 x - 7) ({(- x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [- x + 3])$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(- x + 3)}^{2} (5 (- x + 3)) + {(- x + 3)}^{2} (- 3 (5 x - 7) (\frac{d}{d x} (- x + 3)))}{{(- x + 3)}^{6}}$

Schritt 2.4.2.3

Faktorisiere ${(- x + 3)}^{2}$ aus ${(- x + 3)}^{2} (5 (- x + 3)) + {(- x + 3)}^{2} (- 3 (5 x - 7) (\frac{d}{d x} [- x + 3]))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(- x + 3)}^{2} (5 (- x + 3) - 3 (5 x - 7) (\frac{d}{d x} (- x + 3)))}{{(- x + 3)}^{6}}$

Schritt 2.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere ${(- x + 3)}^{2}$ aus ${(- x + 3)}^{6}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(- x + 3)}^{2} (5 (- x + 3) - 3 (5 x - 7) (\frac{d}{d x} (- x + 3)))}{{(- x + 3)}^{2} {(- x + 3)}^{4}}$

Schritt 2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{{(- x + 3)}^{2} (5 (- x + 3) - 3 (5 x - 7) (\frac{d}{d x} (- x + 3)))}{{(- x + 3)}^{2} {(- x + 3)}^{4}}$

Schritt 2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{5 (- x + 3) - 3 (5 x - 7) (\frac{d}{d x} (- x + 3))}{{(- x + 3)}^{4}}$

Schritt 2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = \frac{5 (- x + 3) - 3 (5 x - 7) (\frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (3))}{{(- x + 3)}^{4}}$

Schritt 2.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 (- x + 3) - 3 (5 x - 7) (- \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (3))}{{(- x + 3)}^{4}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 (- x + 3) - 3 (5 x - 7) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3))}{{(- x + 3)}^{4}}$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 (- x + 3) - 3 (5 x - 7) (- 1 + \frac{d}{d x} (3))}{{(- x + 3)}^{4}}$

Schritt 2.10

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 (- x + 3) - 3 (5 x - 7) (- 1 + 0)}{{(- x + 3)}^{4}}$

Schritt 2.11

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.1

Addiere $- 1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 (- x + 3) - 3 (5 x - 7) \cdot - 1}{{(- x + 3)}^{4}}$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{5 (- x + 3) + 3 (5 x - 7)}{{(- x + 3)}^{4}}$

Schritt 2.12

Vereinfache.

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Schritt 2.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{5 (- x) + 5 \cdot 3 + 3 (5 x - 7)}{{(- x + 3)}^{4}}$

Schritt 2.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{5 (- x) + 5 \cdot 3 + 3 (5 x) + 3 \cdot - 7}{{(- x + 3)}^{4}}$

Schritt 2.12.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.12.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.12.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f'' (x) = \frac{- 5 x + 5 \cdot 3 + 3 (5 x) + 3 \cdot - 7}{{(- x + 3)}^{4}}$

Schritt 2.12.3.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 5 x + 15 + 3 (5 x) + 3 \cdot - 7}{{(- x + 3)}^{4}}$

Schritt 2.12.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 5 x + 15 + 15 x + 3 \cdot - 7}{{(- x + 3)}^{4}}$

Schritt 2.12.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 7$ .

$f'' (x) = \frac{- 5 x + 15 + 15 x - 21}{{(- x + 3)}^{4}}$

Schritt 2.12.3.2

Addiere $- 5 x$ und $15 x$ .

$f'' (x) = \frac{10 x + 15 - 21}{{(- x + 3)}^{4}}$

Schritt 2.12.3.3

Subtrahiere $21$ von $15$ .

$f'' (x) = \frac{10 x - 6}{{(- x + 3)}^{4}}$

Schritt 2.12.4

Faktorisiere $2$ aus $10 x - 6$ heraus.

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Schritt 2.12.4.1

Faktorisiere $2$ aus $10 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (5 x) - 6}{{(- x + 3)}^{4}}$

Schritt 2.12.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (5 x) + 2 (- 3)}{{(- x + 3)}^{4}}$

Schritt 2.12.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (5 x) + 2 (- 3)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (5 x - 3)}{{(- x + 3)}^{4}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{5 x - 7}{{(- x + 3)}^{3}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2] - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.6

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.7

Addiere $2 x - 1$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 6 x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.10

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.12

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.13

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (2 x - 6 + 0)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.14

Addiere $2 x - 6$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.2.1.1

Multipliziere $(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 1 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.2.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.2.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.3.2.1.2.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.1.3.2.1.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.2.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.2.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 1 \cdot x^{2} - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.2.4

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 6 \cdot 2 x \cdot x - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.2.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.3.2.1.2.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 6 \cdot 2 (x \cdot x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.2.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 6 \cdot 2 x^{2} - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.2.7

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 12 x^{2} - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 12 x^{2} + 6 x + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.2.9

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 12 x^{2} + 6 x + 18 x + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.2.10

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 12 x^{2} + 6 x + 18 x - 9 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.3

Subtrahiere $12 x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 6 x + 18 x - 9 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.4

Addiere $6 x$ und $18 x$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.2.1.5.1

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 4.1.3.2.1.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 + (- x^{2} + 1 x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.5.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 + (- x^{2} + x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 + (- x^{2} + x + 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.6

Multipliziere $(- x^{2} + x + 2) (2 x - 6)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 6 + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.2.1.7.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot - 6 + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.7.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.3.2.1.7.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 6 + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.1.3.2.1.7.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 6 + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.7.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 6 + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.7.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 6 + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 6 + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.7.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.7.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x \cdot x + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.7.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.3.2.1.7.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 (x \cdot x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.7.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x^{2} + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.7.7

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x^{2} - 6 \cdot x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.7.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x^{2} - 6 x + 4 x + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.7.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x^{2} - 6 x + 4 x - 12}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.8

Addiere $6 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 6 x + 4 x - 12}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.9

Addiere $- 6 x$ und $4 x$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x - 12}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x - 12$ .

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Schritt 4.1.3.2.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{- 13 x^{2} + 24 x - 9 + 0 + 8 x^{2} - 2 x - 12}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.2.2

Addiere $- 13 x^{2} + 24 x - 9$ und $0$ .

$\frac{- 13 x^{2} + 24 x - 9 + 8 x^{2} - 2 x - 12}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.3

Addiere $- 13 x^{2}$ und $8 x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x - 12}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.4

Subtrahiere $2 x$ von $24 x$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 22 x - 9 - 12}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.5

Subtrahiere $12$ von $- 9$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 22 x - 21}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1.3.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 5 \cdot - 21 = 105$ und deren Summe gleich $b = 22$ ist.

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Schritt 4.1.3.3.1.1

Faktorisiere $22$ aus $22 x$ heraus.

$\frac{- 5 x^{2} + 22 (x) - 21}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.3.1.2

Schreibe $22$ um als $7$ plus $15$

$\frac{- 5 x^{2} + (7 + 15) x - 21}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 5 x^{2} + 7 x + 15 x - 21}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.1.3.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- 5 x^{2} + 7 x) + 15 x - 21}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (- 5 x + 7) - 3 (- 5 x + 7)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 5 x + 7$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.3.4.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.1.3.4.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} - 6 x + 3^{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.3.4.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 4.1.3.4.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.3.4.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{{({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.3.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 3)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.1.3.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{{(x - 3)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 4.1.3.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{{(x - 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.4.3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} + 4 x^{3} \cdot - 3 + 6 x^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.4.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.4.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.4.4.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 9 + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.4.4.3

Mutltipliziere $9$ mit $6$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.4.4.4

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} + 4 x \cdot - 27 + {(- 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.4.4.5

Mutltipliziere $- 27$ mit $4$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + {(- 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.4.4.6

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81}$

Schritt 4.1.3.4.5

Passe jeden Term so an, dass er den Termen des binomischen Lehrsatzes entspricht.

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} - 4 \cdot 3 x^{3} + 6 \cdot 3^{2} x^{2} - 4 \cdot 3^{3} x + 3^{4}}$

Schritt 4.1.3.4.6

Faktorisiere $x^{4} - 4 \cdot 3 x^{3} + 6 \cdot 3^{2} x^{2} - 4 \cdot 3^{3} x + 3^{4}$ mithilfe des Binomischen Lehrsatzes.

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{{(3 - x)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 3$ und ${(3 - x)}^{4}$ .

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Schritt 4.1.3.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{(- 5 x + 7) (- 1 (- x) - 3)}{{(3 - x)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.5.2

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{(- 5 x + 7) (- 1 (- x) - 1 (3))}{{(3 - x)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{(- 5 x + 7) (- 1 (- x + 3))}{{(3 - x)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.5.4

Stelle die Terme um.

$\frac{(- 5 x + 7) (- 1 (- x + 3))}{{(- x + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.5.5

Faktorisiere $- x + 3$ aus $(- 5 x + 7) (- 1 (- x + 3))$ heraus.

$\frac{(- x + 3) ((- 5 x + 7) \cdot (- 1))}{{(- x + 3)}^{4}}$

Schritt 4.1.3.5.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.3.5.6.1

Faktorisiere $- x + 3$ aus ${(- x + 3)}^{4}$ heraus.

$\frac{(- x + 3) ((- 5 x + 7) \cdot (- 1))}{(- x + 3) {(- x + 3)}^{3}}$

Schritt 4.1.3.5.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(- x + 3) ((- 5 x + 7) \cdot (- 1))}{(- x + 3) {(- x + 3)}^{3}}$

Schritt 4.1.3.5.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(- 5 x + 7) \cdot (- 1)}{{(- x + 3)}^{3}}$

Schritt 4.1.3.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $- 5 x + 7$ .

$\frac{- 1 \cdot (- 5 x + 7)}{{(- x + 3)}^{3}}$

Schritt 4.1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{- 5 x + 7}{{(- x + 3)}^{3}}$

Schritt 4.1.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x$ heraus.

$- \frac{- (5 x) + 7}{{(- x + 3)}^{3}}$

Schritt 4.1.3.9

Schreibe $7$ als $- 1 (- 7)$ um.

$- \frac{- (5 x) - 1 (- 7)}{{(- x + 3)}^{3}}$

Schritt 4.1.3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x) - 1 (- 7)$ heraus.

$- \frac{- (5 x - 7)}{{(- x + 3)}^{3}}$

Schritt 4.1.3.11

Schreibe $- (5 x - 7)$ als $- 1 (5 x - 7)$ um.

$- \frac{- 1 (5 x - 7)}{{(- x + 3)}^{3}}$

Schritt 4.1.3.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{5 x - 7}{{(- x + 3)}^{3}}$

Schritt 4.1.3.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{5 x - 7}{{(- x + 3)}^{3}}$

Schritt 4.1.3.14

Mutltipliziere $\frac{5 x - 7}{{(- x + 3)}^{3}}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{5 x - 7}{{(- x + 3)}^{3}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{5 x - 7}{{(- x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{5 x - 7}{{(- x + 3)}^{3}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{5 x - 7}{{(- x + 3)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{5 x - 7}{{(- x + 3)}^{3}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$5 x - 7 = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 7$

Schritt 5.3.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 7$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 7$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

Schritt 5.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{7}{5}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{5 x - 7}{{(- x + 3)}^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(- x + 3)}^{3} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x + 3$ heraus.

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Schritt 6.2.1.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

${(- (x) + 3)}^{3} = 0$

Schritt 6.2.1.1.2

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

${(- (x) - 1 \cdot - 3)}^{3} = 0$

Schritt 6.2.1.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 3)$ heraus.

${(- (x - 3))}^{3} = 0$

Schritt 6.2.1.2

Wende die Produktregel auf $- (x - 3)$ an.

${(- 1)}^{3} {(x - 3)}^{3} = 0$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in ${(- 1)}^{3} {(x - 3)}^{3} = 0$ durch ${(- 1)}^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in ${(- 1)}^{3} {(x - 3)}^{3} = 0$ durch ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{{(- 1)}^{3} {(x - 3)}^{3}}{{(- 1)}^{3}} = \frac{0}{{(- 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(- 1)}^{3}$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(- 1)}^{3} {(x - 3)}^{3}}{{(- 1)}^{3}} = \frac{0}{{(- 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere ${(x - 3)}^{3}$ durch $1$ .

${(x - 3)}^{3} = \frac{0}{{(- 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.3.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

${(x - 3)}^{3} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.2.3.2

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

${(x - 3)}^{3} = 0$

Schritt 6.2.3

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 6.2.4

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{7}{5}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{7}{5}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{2 (5 (\frac{7}{5}) - 3)}{{(- (\frac{7}{5}) + 3)}^{4}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 9.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5 (\frac{7}{5}) - 3)}{{(- \frac{7}{5} + 3)}^{4}}$

Schritt 9.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (7 - 3)}{{(- \frac{7}{5} + 3)}^{4}}$

Schritt 9.1.2

Subtrahiere $3$ von $7$ .

$\frac{2 \cdot 4}{{(- \frac{7}{5} + 3)}^{4}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{{(- \frac{7}{5} + 3 \cdot \frac{5}{5})}^{4}}$

Schritt 9.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{{(- \frac{7}{5} + \frac{3 \cdot 5}{5})}^{4}}$

Schritt 9.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \cdot 4}{{(\frac{- 7 + 3 \cdot 5}{5})}^{4}}$

Schritt 9.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{2 \cdot 4}{{(\frac{- 7 + 15}{5})}^{4}}$

Schritt 9.2.4.2

Addiere $- 7$ und $15$ .

$\frac{2 \cdot 4}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Schritt 9.2.5

Wende die Produktregel auf $\frac{8}{5}$ an.

$\frac{2 \cdot 4}{\frac{8^{4}}{5^{4}}}$

Schritt 9.2.6

Potenziere $8$ mit $4$ .

$\frac{2 \cdot 4}{\frac{4096}{5^{4}}}$

Schritt 9.2.7

Potenziere $5$ mit $4$ .

$\frac{2 \cdot 4}{\frac{4096}{625}}$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{8}{\frac{4096}{625}}$

Schritt 9.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$8 (\frac{625}{4096})$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 9.5.1

Faktorisiere $8$ aus $4096$ heraus.

$8 \frac{625}{8 (512)}$

Schritt 9.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \frac{625}{8 \cdot 512}$

Schritt 9.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{625}{512}$

Schritt 10

$x = \frac{7}{5}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{7}{5}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{7}{5}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{7}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{{(\frac{7}{5})}^{2} - (\frac{7}{5}) - 2}{{(\frac{7}{5})}^{2} - 6 (\frac{7}{5}) + 9}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $5$ .

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Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{{(\frac{7}{5})}^{2} - \frac{7}{5} - 2}{{(\frac{7}{5})}^{2} - 6 (\frac{7}{5}) + 9}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{5}{5} \cdot \frac{{(\frac{7}{5})}^{2} - \frac{7}{5} - 2}{{(\frac{7}{5})}^{2} - 6 (\frac{7}{5}) + 9}$

Schritt 11.2.1.2

Kombinieren.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{5 ({(\frac{7}{5})}^{2} - \frac{7}{5} - 2)}{5 ({(\frac{7}{5})}^{2} - 6 (\frac{7}{5}) + 9)}$

Schritt 11.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- \frac{7}{5}) + 5 \cdot - 2}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 11.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{5}$ in den Zähler.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (\frac{- 7}{5}) + 5 \cdot - 2}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (\frac{- 7}{5}) + 5 \cdot - 2}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{5 {(\frac{7}{5})}^{2} - 7 + 5 \cdot - 2}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{5}$ an.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{5 (\frac{7^{2}}{5^{2}}) - 7 + 5 \cdot - 2}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 11.2.4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5^{2}$ heraus.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{5 (\frac{7^{2}}{5 \cdot 5}) - 7 + 5 \cdot - 2}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{5 (\frac{7^{2}}{5 \cdot 5}) - 7 + 5 \cdot - 2}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{\frac{7^{2}}{5} - 7 + 5 \cdot - 2}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.4.3

Potenziere $7$ mit $2$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{\frac{49}{5} - 7 + 5 \cdot - 2}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.4.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{\frac{49}{5} - 7 - 10}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.4.5

Um $- 7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{\frac{49}{5} - 7 \cdot \frac{5}{5} - 10}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.4.6

Kombiniere $- 7$ und $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{\frac{49}{5} + \frac{- 7 \cdot 5}{5} - 10}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.4.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{\frac{49 - 7 \cdot 5}{5} - 10}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.4.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.4.8.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $5$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{\frac{49 - 35}{5} - 10}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.4.8.2

Subtrahiere $35$ von $49$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{\frac{14}{5} - 10}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.4.9

Um $- 10$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{\frac{14}{5} - 10 \cdot \frac{5}{5}}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.4.10

Kombiniere $- 10$ und $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{\frac{14}{5} + \frac{- 10 \cdot 5}{5}}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.4.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{\frac{14 - 10 \cdot 5}{5}}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.4.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.4.12.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $5$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{\frac{14 - 50}{5}}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.4.12.2

Subtrahiere $50$ von $14$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{\frac{- 36}{5}}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.4.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.5

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{5}$ an.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{5 (\frac{7^{2}}{5^{2}}) + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 11.2.5.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5^{2}$ heraus.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{5 (\frac{7^{2}}{5 \cdot 5}) + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{5 (\frac{7^{2}}{5 \cdot 5}) + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{7^{2}}{5} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.5.3

Potenziere $7$ mit $2$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{49}{5} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.5.4

Multipliziere $- 6 (\frac{7}{5})$ .

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Schritt 11.2.5.4.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{7}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{49}{5} + 5 (\frac{- 6 \cdot 7}{5}) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.5.4.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $7$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{49}{5} + 5 (\frac{- 42}{5}) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 11.2.5.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{49}{5} + 5 (\frac{- 42}{5}) + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.5.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{49}{5} - 42 + 5 \cdot 9}$

Schritt 11.2.5.6

Mutltipliziere $5$ mit $9$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{49}{5} - 42 + 45}$

Schritt 11.2.5.7

Um $- 42$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{49}{5} - 42 \cdot \frac{5}{5} + 45}$

Schritt 11.2.5.8

Kombiniere $- 42$ und $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{49}{5} + \frac{- 42 \cdot 5}{5} + 45}$

Schritt 11.2.5.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{49 - 42 \cdot 5}{5} + 45}$

Schritt 11.2.5.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.5.10.1

Mutltipliziere $- 42$ mit $5$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{49 - 210}{5} + 45}$

Schritt 11.2.5.10.2

Subtrahiere $210$ von $49$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{- 161}{5} + 45}$

Schritt 11.2.5.11

Um $45$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{- 161}{5} + 45 \cdot \frac{5}{5}}$

Schritt 11.2.5.12

Kombiniere $45$ und $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{- 161}{5} + \frac{45 \cdot 5}{5}}$

Schritt 11.2.5.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{- 161 + 45 \cdot 5}{5}}$

Schritt 11.2.5.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.5.14.1

Mutltipliziere $45$ mit $5$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{- 161 + 225}{5}}$

Schritt 11.2.5.14.2

Addiere $- 161$ und $225$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{64}{5}}$

Schritt 11.2.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{7}{5}) = - \frac{36}{5} \cdot \frac{5}{64}$

Schritt 11.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 11.2.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{36}{5}$ in den Zähler.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- 36}{5} \cdot \frac{5}{64}$

Schritt 11.2.7.2

Faktorisiere $4$ aus $- 36$ heraus.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{4 (- 9)}{5} \cdot \frac{5}{64}$

Schritt 11.2.7.3

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{4 \cdot - 9}{5} \cdot \frac{5}{4 \cdot 16}$

Schritt 11.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{4 \cdot - 9}{5} \cdot \frac{5}{4 \cdot 16}$

Schritt 11.2.7.5

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- 9}{5} \cdot \frac{5}{16}$

Schritt 11.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 11.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- 9}{5} \cdot \frac{5}{16}$

Schritt 11.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7}{5}) = - 9 (\frac{1}{16})$

Schritt 11.2.9

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{16}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- 9}{16}$

Schritt 11.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{7}{5}) = - \frac{9}{16}$

Schritt 11.2.11

Die endgültige Lösung ist $- \frac{9}{16}$ .

$y = - \frac{9}{16}$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} - 6 x + 9}$ .

$(\frac{7}{5}, - \frac{9}{16})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13