Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} (x + \sqrt{x}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{0}^{1} x + \sqrt{x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$ und $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Schritt 6.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Berechne $\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2.5

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2.6

Um $\frac{2}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.2.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3}{6} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2.7.3

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{6} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2.7.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3}{6} + \frac{2 \cdot 2}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 + 2 \cdot 2}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.9.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 + 4}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2.9.2

Addiere $3$ und $4$ .

$\frac{7}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2.10

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{7}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2.11

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2.12

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2.13

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Schritt 6.2.2.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Schritt 6.2.2.14.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 6.2.2.15

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

Schritt 6.2.2.16

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $0$ .

$\frac{7}{6} - (0 + 0)$

Schritt 6.2.2.17

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{7}{6} - 0$

Schritt 6.2.2.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{7}{6} + 0$

Schritt 6.2.2.19

Addiere $\frac{7}{6}$ und $0$ .

$\frac{7}{6}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{7}{6}$

Dezimalform:

$1.1\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1 \frac{1}{6}$

Schritt 8