Analysis Beispiele

$\sin (x) \cdot e^{x}$

Schritt 1

Schreibe $\sin (x) \cdot e^{x}$ als Funktion.

$f (x) = \sin (x) \cdot e^{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sin (x) \cdot e^{x} d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sin (x)$ und $d v = e^{x}$ .

$\sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

Schritt 5

Stelle $e^{x}$ und $\cos (x)$ um.

$\sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x$

Schritt 6

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \cos (x)$ und $d v = e^{x}$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x)$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Schritt 8

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ mit $1$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Schritt 8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Schritt 9

Wenn nach $\int \sin (x) \cdot e^{x} d x$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int \sin (x) \cdot e^{x} d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C$

Schritt 10

Schreibe $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C$ als $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$ um.

$\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sin (x) \cdot e^{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$