Analysis Beispiele

$\frac{d}{d x} (- 4 x^{- 2} - 5 x^{- \frac{5}{2}})$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 x^{- 2} - 5 x^{- \frac{5}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- \frac{5}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- \frac{5}{2}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$ .

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Schritt 2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- \frac{5}{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$- 4 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- \frac{5}{2}}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- \frac{5}{2}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{- \frac{5}{2}}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{- \frac{5}{2}}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{5}{2}}]$ .

$8 x^{- 3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{5}{2}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{5}{2}$ .

$8 x^{- 3} - 5 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1})$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$8 x^{- 3} - 5 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$8 x^{- 3} - 5 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 x^{- 3} - 5 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$8 x^{- 3} - 5 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 2}{2}})$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $2$ von $- 5$ .

$8 x^{- 3} - 5 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 7}{2}})$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 x^{- 3} - 5 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{7}{2}})$

Schritt 3.8

Kombiniere $x^{- \frac{7}{2}}$ und $\frac{5}{2}$ .

$8 x^{- 3} - 5 (- \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2})$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$8 x^{- 3} + 5 \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}$

Schritt 3.10

Kombiniere $5$ und $\frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}$ .

$8 x^{- 3} + \frac{5 (x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5)}{2}$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$8 x^{- 3} + \frac{25 x^{- \frac{7}{2}}}{2}$

Schritt 3.12

Bringe $x^{- \frac{7}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{- 3} + \frac{25}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{x^{3}} + \frac{25}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.2

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{8}{x^{3}} + \frac{25}{2 x^{\frac{7}{2}}}$