Analysis Beispiele

$\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$

Schritt 1

Stelle $e^{- θ}$ und $\cos (2 θ)$ um.

$\int \cos (2 θ) e^{- θ} d θ$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \cos (2 θ)$ und $d v = e^{- θ}$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - \int - e^{- θ} (- 2 \sin (2 θ)) d θ$

Schritt 3

Da $- - 2$ konstant bezüglich $θ$ ist, ziehe $- - 2$ aus dem Integral.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - (- - 2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - (2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ$

Schritt 4.3

Stelle $e^{- θ}$ und $\sin (2 θ)$ um.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int \sin (2 θ) e^{- θ} d θ$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sin (2 θ)$ und $d v = e^{- θ}$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - \int - e^{- θ} (2 \cos (2 θ)) d θ)$

Schritt 6

Da $- 1 \cdot 2$ konstant bezüglich $θ$ ist, ziehe $- 1 \cdot 2$ aus dem Integral.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - (- 1 \cdot 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ))$

Schritt 7

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - (- 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ))$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ})) - 2 (2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Schritt 7.4

Multipliziere.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 2 (2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 4 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ$

Schritt 8

Wenn nach $\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$ = $\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ}))}{5}$ .

$\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ}))}{5} + C$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Schreibe $\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$ als $\frac{- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$ um.

$\frac{- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $e^{- θ}$ aus $- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}$ heraus.

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Schritt 9.2.1.1

Faktorisiere $e^{- θ}$ aus $- \cos (2 θ) e^{- θ}$ heraus.

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$

Schritt 9.2.1.2

Faktorisiere $e^{- θ}$ aus $2 \sin (2 θ) e^{- θ}$ heraus.

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + e^{- θ} (2 \sin (2 θ))}{5} + C$

Schritt 9.2.1.3

Faktorisiere $e^{- θ}$ aus $e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + e^{- θ} (2 \sin (2 θ))$ heraus.

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C$

Schritt 9.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos (2 θ)$ heraus.

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ)) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C$

Schritt 9.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $2 \sin (2 θ)$ heraus.

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ)) - (- 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

Schritt 9.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\cos (2 θ)) - (- 2 \sin (2 θ))$ heraus.

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

Schritt 9.2.5

Schreibe $- (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ))$ als $- 1 (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ))$ um.

$\frac{e^{- θ} (- 1 (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

Schritt 9.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{5} e^{- θ} (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)) + C$