Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{(x^{2} + 49) (4 x^{2} - 49)}$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Multipliziere $(x^{2} + 49) (4 x^{2} - 49)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{x^{2} (4 x^{2} - 49) + 49 (4 x^{2} - 49)}$

Schritt 1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} \cdot - 49 + 49 (4 x^{2} - 49)}$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} \cdot - 49 + 49 (4 x^{2}) + 49 \cdot - 49}$

Schritt 1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{4 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 49 + 49 (4 x^{2}) + 49 \cdot - 49}$

Schritt 1.2.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{4 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot - 49 + 49 (4 x^{2}) + 49 \cdot - 49}$

Schritt 1.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{4 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 49 + 49 (4 x^{2}) + 49 \cdot - 49}$

Schritt 1.2.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{4 x^{4} + x^{2} \cdot - 49 + 49 (4 x^{2}) + 49 \cdot - 49}$

Schritt 1.2.1.3

Bringe $- 49$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{4 x^{4} - 49 \cdot x^{2} + 49 (4 x^{2}) + 49 \cdot - 49}$

Schritt 1.2.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $49$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{4 x^{4} - 49 x^{2} + 196 x^{2} + 49 \cdot - 49}$

Schritt 1.2.1.5

Mutltipliziere $49$ mit $- 49$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{4 x^{4} - 49 x^{2} + 196 x^{2} - 2401}$

Schritt 1.2.2

Addiere $- 49 x^{2}$ und $196 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{4 x^{4} + 147 x^{2} - 2401}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{4}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 49}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{147 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 49}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{147 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Schritt 3.1.1.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{- 49}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{147 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Schritt 3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{49}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{147 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{49}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{147 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{49}{x^{4}}}{4 + \frac{147 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{4}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $147 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{49}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot 147}{x^{4}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{49}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot 147}{x^{2} x^{2}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Schritt 3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{49}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot 147}{x^{2} x^{2}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Schritt 3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{49}{x^{4}}}{4 + \frac{147}{x^{2}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Schritt 3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{49}{x^{4}}}{4 + \frac{147}{x^{2}} - \frac{2401}{x^{4}}}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{49}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{147}{x^{2}} - \frac{2401}{x^{4}}}$

Schritt 3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} \frac{49}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{147}{x^{2}} - \frac{2401}{x^{4}}}$

Schritt 3.5

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{4 - lim_{x \to \infty} \frac{49}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{147}{x^{2}} - \frac{2401}{x^{4}}}$

Schritt 3.6

Ziehe den Term $49$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 - 49 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{147}{x^{2}} - \frac{2401}{x^{4}}}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{4}}$ $0$ .

$\frac{4 - 49 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{147}{x^{2}} - \frac{2401}{x^{4}}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{4 - 49 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{147}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{2401}{x^{4}}}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{4 - 49 \cdot 0}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{147}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{2401}{x^{4}}}$

Schritt 5.3

Ziehe den Term $147$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 - 49 \cdot 0}{4 + 147 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{2401}{x^{4}}}$

Schritt 6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{4 - 49 \cdot 0}{4 + 147 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{2401}{x^{4}}}$

Schritt 7

Ziehe den Term $2401$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 - 49 \cdot 0}{4 + 147 \cdot 0 - 2401 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}$

Schritt 8

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{4}}$ $0$ .

$\frac{4 - 49 \cdot 0}{4 + 147 \cdot 0 - 2401 \cdot 0}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $- 49$ mit $0$ .

$\frac{4 + 0}{4 + 147 \cdot 0 - 2401 \cdot 0}$

Schritt 9.1.2

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{4}{4 + 147 \cdot 0 - 2401 \cdot 0}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $147$ mit $0$ .

$\frac{4}{4 + 0 - 2401 \cdot 0}$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $- 2401$ mit $0$ .

$\frac{4}{4 + 0 + 0}$

Schritt 9.2.3

Addiere $4 + 0$ und $0$ .

$\frac{4}{4 + 0}$

Schritt 9.2.4

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{4}{4}$

Schritt 9.3

Dividiere $4$ durch $4$ .

$1$