Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0^{+}} {\sin (x)}^{\tan (x)}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${\sin (x)}^{\tan (x)}$ als $e^{\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})}$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})$ durch Herausziehen von $\tan (x)$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\tan (x) \ln (\sin (x))}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x) \ln (\sin (x))}$

Schritt 3

Schreibe $\tan (x) \ln (\sin (x))$ als $\frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{\tan (x)}}$ um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{\tan (x)}}}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sin (x))}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}}$

Schritt 4.1.2

Wenn $x$ von rechts gegen $0$ geht, nimmt $\ln (\sin (x))$ ohne Schranke ab.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}}$

Schritt 4.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.3.1

Wende trigonometrische Formeln an.

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Schritt 4.1.3.1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}}$

Schritt 4.1.3.1.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}}$

Schritt 4.1.3.1.3

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}}$

Schritt 4.1.3.2

Wenn sich die $x$ -Werte von rechts an $0$ annähern, nehmen die Funktionswerte ohne Schranke zu.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Schritt 4.1.3.3

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Schritt 4.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Schritt 4.2

Da $\frac{- \infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{\tan (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 4.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Schritt 4.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Schritt 4.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Schritt 4.3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\sin (x)} \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Schritt 4.3.4

Kombiniere $\frac{1}{\sin (x)}$ und $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Schritt 4.3.5

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]}}$

Schritt 4.3.6

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Schritt 4.3.7

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Schritt 4.3.8

Vereinfache.

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Schritt 4.3.8.1

Forme den Ausdruck um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Schritt 4.3.8.2

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Schritt 4.3.9

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.10

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x) \cdot - 1 \sin (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.11

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{1} (x) \sin (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.12

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.14

Addiere $1$ und $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.15

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.16

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.17

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.18

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.19

Addiere $1$ und $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.20

Vereinfache.

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Schritt 4.3.20.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.20.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin^{2} (x)$ heraus.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.20.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos^{2} (x)$ heraus.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.20.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ heraus.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.20.1.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.20.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- 1}{\sin^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.20.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)}}}$

Schritt 4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 \sin^{2} (x)}$

Schritt 4.5

Kombiniere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ und $\sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\cos (x) \sin^{2} (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sin^{2} (x)$ und $\sin (x)$ .

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\cos (x) \sin^{2} (x)$ heraus.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.6.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}}$

Schritt 4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}}$

Schritt 4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\cos (x) \sin (x)}{1}}$

Schritt 4.6.2.4

Dividiere $\cos (x) \sin (x)$ durch $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \cos (x) \sin (x)}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) \sin (x)}$

Schritt 5.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}$

Schritt 5.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$e^{- \cos (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}$

Schritt 5.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$e^{- \cos (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{- \cos (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{- \cos (0) \cdot \sin (0)}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$e^{- 1 \cdot 1 \cdot \sin (0)}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{- 1 \cdot \sin (0)}$

Schritt 7.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$e^{- 1 \cdot 0}$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e^{0}$

Schritt 8

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1$