Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \tan (- 2 x) - \sin (2 x)$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{6}$ annähert.

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \tan (- 2 x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (2 x)$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\tan (lim_{x \to \frac{π}{6}} - 2 x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (2 x)$

Schritt 3

Ziehe den Term $- 2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\tan (- 2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (2 x)$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\tan (- 2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 x)$

Schritt 5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\tan (- 2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x)$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{6}$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{6}$ für $x$ .

$\tan (- 2 \frac{π}{6}) - \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x)$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{6}$ für $x$ .

$\tan (- 2 \frac{π}{6}) - \sin (2 \frac{π}{6})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\tan (2 (- 1) \frac{π}{6}) - \sin (2 \frac{π}{6})$

Schritt 7.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\tan (2 \cdot - 1 \frac{π}{2 \cdot 3}) - \sin (2 \frac{π}{6})$

Schritt 7.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (2 \cdot - 1 \frac{π}{2 \cdot 3}) - \sin (2 \frac{π}{6})$

Schritt 7.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\tan (- \frac{π}{3}) - \sin (2 \frac{π}{6})$

Schritt 7.1.2

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\tan (\frac{5 π}{3}) - \sin (2 \frac{π}{6})$

Schritt 7.1.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Tangens im vierten Quadranten negativ ist.

$- \tan (\frac{π}{3}) - \sin (2 \frac{π}{6})$

Schritt 7.1.4

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$- \sqrt{3} - \sin (2 \frac{π}{6})$

Schritt 7.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- \sqrt{3} - \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Schritt 7.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \sqrt{3} - \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Schritt 7.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{3} - \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 7.1.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.2

Um $- \sqrt{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.3

Kombiniere $- \sqrt{3}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.5.2

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Dezimalform:

$- 2.59807621 \dots$