Analysis Beispiele

$\frac{5 \sqrt[4]{x^{5}}}{2}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d x} [\frac{5 \sqrt[4]{x^{5}}}{2}]$ als $\frac{d}{d x} [\frac{5 (x \sqrt[4]{x})}{2}]$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus.

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \sqrt[4]{x^{4} x}}{2}]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{5 (x \sqrt[4]{x})}{2}]$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x}$ als $x^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{5 (x \cdot x^{\frac{1}{4}})}{2}]$

Schritt 3

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{4}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 (x^{1} x^{\frac{1}{4}})}{2}]$

Schritt 3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{1 + \frac{1}{4}}}{2}]$

Schritt 3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}}{2}]$

Schritt 3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{\frac{4 + 1}{4}}}{2}]$

Schritt 3.4

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{\frac{5}{4}}}{2}]$

Schritt 4

Da $\frac{5}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 x^{\frac{5}{4}}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$ .

$\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{4}$ .

$\frac{5}{2} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1})$

Schritt 6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5}{2} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Schritt 7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5}{2} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{2} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{5}{2} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 4}{4}})$

Schritt 9.2

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$\frac{5}{2} (\frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}})$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{5}{4}$ und $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$

Schritt 11

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $\frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$ .

$\frac{5 (5 x^{\frac{1}{4}})}{2 \cdot 4}$

Schritt 12

Multipliziere.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{25 x^{\frac{1}{4}}}{2 \cdot 4}$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{25 x^{\frac{1}{4}}}{8}$