Analysis Beispiele

$\int \sqrt[3]{1 + 7 x} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 + 7 x$ . Dann ist $d u = 7 d x$ , folglich $\frac{1}{7} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + 7 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 7 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 7 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [7 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 7 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$0 + 7$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $7$ .

$7$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sqrt[3]{u} \frac{1}{7} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sqrt[3]{u}$ und $\frac{1}{7}$ .

$\int \frac{\sqrt[3]{u}}{7} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{7}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{7} \int \sqrt[3]{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u}$ als $u^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{7} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{1}{7} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ als $\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ um.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{7 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$\frac{3}{28} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $1 + 7 x$ .

$\frac{3}{28} {(1 + 7 x)}^{\frac{4}{3}} + C$