Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x}{3 y^{2}}$ , $y (2) = 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{- 2 x}{3 y^{2}}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $3 y^{2}$ heraus.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{- 2 x}{y^{2} \cdot 3}$

Schritt 1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{- 2 x}{y^{2} \cdot 3}$

Schritt 1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x}{3}$

Schritt 1.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{3}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y^{2} d y = - \frac{2 x}{3} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{2} d y = \int - \frac{2 x}{3} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{2 x}{3} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{2 x}{3} d x$

Schritt 2.3.2

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{2}{3} \int x d x)$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.1

Schreibe $- \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{6} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2 (1)}{6} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3} x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{3}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{3} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{3}) + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{3}$ in den Zähler.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{2}}{3} + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{2}}{3} + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = - x^{2} + 3 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + 3 K}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + K}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $2$ für $x$ und $1$ für $y$ in $y = \sqrt[3]{- x^{2} + K}$ ersetzt wird.

$1 = \sqrt[3]{- 2^{2} + K}$

Schritt 6

Löse nach $K$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[3]{- 2^{2} + K} = 1$ um.

$\sqrt[3]{- 2^{2} + K} = 1$

Schritt 6.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{- 2^{2} + K}}^{3} = 1^{3}$

Schritt 6.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{- 2^{2} + K}$ als ${(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1

Vereinfache ${({(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Schritt 6.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- 2^{2} + K)}^{1} = 1^{3}$

Schritt 6.3.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

${(- 1 \cdot 4 + K)}^{1} = 1^{3}$

Schritt 6.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

${(- 4 + K)}^{1} = 1^{3}$

Schritt 6.3.2.1.3

Vereinfache.

$- 4 + K = 1^{3}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 4 + K = 1$

Schritt 6.4

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$K = 1 + 4$

Schritt 6.4.2

Addiere $1$ und $4$ .

$K = 5$

Schritt 7

Setze $5$ für $K$ in $y = \sqrt[3]{- x^{2} + K}$ ein und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze $K$ durch $5$ .

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + 5}$