Analysis Beispiele

$y = \frac{3}{4 x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3}{4 x^{2}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $\frac{3}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{4 x^{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$\frac{3}{4} (- 2 x^{- 3})$

Schritt 3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{4} x^{- 3}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{- 6}{4} x^{- 3}$

Schritt 3.4.3

Kombiniere $\frac{- 6}{4}$ und $x^{- 3}$ .

$\frac{- 6 x^{- 3}}{4}$

Schritt 3.4.4

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 6}{4 x^{3}}$

Schritt 3.4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $4$ .

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Schritt 3.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{2 (- 3)}{4 x^{3}}$

Schritt 3.4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (- 3)}{2 (2 x^{3})}$

Schritt 3.4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (2 x^{3})}$

Schritt 3.4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3}{2 x^{3}}$

Schritt 3.4.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2 x^{3}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{3}{2 x^{3}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{2 x^{3}}$