Analysis Beispiele

$y = \ln (\sec (x))$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\sec (x)))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 3.2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 3.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 3.5

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\cos (x) (\sec (x) \tan (x))$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.1.1

Stelle $\cos (x)$ und $\sec (x)$ um.

$\sec (x) \cos (x) \tan (x)$

Schritt 3.6.1.2

Schreibe $\cos (x) \sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) \tan (x)$

Schritt 3.6.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$1 \tan (x)$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\tan (x)$

Schritt 3.6.3

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.6.4

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\tan (x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \tan (x)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \tan (x)$