Analysis Beispiele

$x \sqrt[3]{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Schreibe $x \sqrt[3]{x^{2} + 1}$ als Funktion.

$f (x) = x \sqrt[3]{x^{2} + 1}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x \sqrt[3]{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4

Sei $u = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Es sei $u = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 4.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 5

Kombiniere $\sqrt[3]{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \sqrt[3]{u} d u$

Schritt 7

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u}$ als $u^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Schreibe $\frac{1}{2} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ als $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{3}{8} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{3}{8} {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x \sqrt[3]{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{8} {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}} + C$